Seja T(x, y) = cos(x^2 + y^2) a temperatura em uma chapa de forma circular. Encontre a taxa de variação da temperatura, quando o valor de y é mantido constante, igual a 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a temperatura numa chapa circular: . O que a gente precisa descobrir é como a temperatura está mudando em relação a quando o valor de está fixo em 3. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que nos mostra a taxa de variação de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, e . A derivada parcial em relação a mostra como a função muda quando você altera apenas , mantendo constante. No nosso caso, queremos .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Como é constante (igual a 3), a derivada de em relação a é zero. Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão da derivada parcial:

Resposta

A taxa de variação da temperatura em relação a , mantendo , é:

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