Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de derivadas parciais:
Essa equação envolve as derivadas de segunda ordem de
em relação a
e
. Nosso objetivo é usar a separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções que dependem apenas de
e de
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e como a separação de variáveis funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções separadas:
Aqui,
é uma função que depende só de
e
só de
. Essa é a ideia central da separação de variáveis: quebrar a função complicada em partes mais simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem de
em relação a
e
:
Substituindo na equação original:
Passo 4
Dividindo ambos os lados da equação por
, que assumimos ser diferente de zero:
Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é a soma de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Para essa igualdade ser válida para todos os
e
, cada parte deve ser constante.
Passo 5
Vamos chamar o termo que depende de
de
(um número constante), então temos:
E o termo que depende de
será:
Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral dependendo do valor de
:
- Se
, as soluções são exponenciais. - Se
, as soluções são lineares. - Se
, as soluções são cossenos e senos.
Para simplicidade, assumimos
, onde
é uma constante real. Então, a solução fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação para
:
Substituindo
:
Dependendo do valor de
, temos diferentes soluções:
- Se
, soluções exponenciais. - Se
, soluções lineares. - Se
, soluções trigonométricas.
Assumindo
, a solução geral é:
Passo 8
Juntando as soluções de
e
, temos a solução geral da equação original na forma de produto:
Onde
e
são constantes relacionadas por
.
Resposta
Assim, uma solução em forma de produto para a equação
é:
Onde
,
,
,
são constantes e
.
Exercícios relacionados
Seja
.
a) Ache o gradiente de no ponto
.
a) Ache o gradiente de
Seja
. Ache a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Seja
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em
na direção de
para
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante
h)