Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de derivadas parciais:
Essa equação envolve as derivadas de segunda ordem de em relação a e . Nosso objetivo é usar a separação de variáveis para encontrar soluções que sejam produtos de funções que dependem apenas de e de . Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e como a separação de variáveis funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas:
Aqui, é uma função que depende só de e só de . Essa é a ideia central da separação de variáveis: quebrar a função complicada em partes mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem de em relação a e :
Substituindo na equação original:

Passo 4

Dividindo ambos os lados da equação por , que assumimos ser diferente de zero:
Agora, observamos que o lado esquerdo da equação é a soma de uma função que depende só de e outra que depende só de . Para essa igualdade ser válida para todos os e , cada parte deve ser constante.

Passo 5

Vamos chamar o termo que depende de de (um número constante), então temos:
E o termo que depende de será:
Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:

Passo 6

Vamos resolver a equação para :
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral dependendo do valor de :
  • Se , as soluções são exponenciais.
  • Se , as soluções são lineares.
  • Se , as soluções são cossenos e senos.
Para simplicidade, assumimos , onde é uma constante real. Então, a solução fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para :
Substituindo :
Dependendo do valor de , temos diferentes soluções:
  • Se , soluções exponenciais.
  • Se , soluções lineares.
  • Se , soluções trigonométricas.
Assumindo , a solução geral é:

Passo 8

Juntando as soluções de e , temos a solução geral da equação original na forma de produto:
Onde e são constantes relacionadas por .

Resposta

Assim, uma solução em forma de produto para a equação é:
Onde , , , são constantes e .

Exercícios relacionados

Seja .
a) Ache o gradiente de no ponto .
Seja . Ache a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
Seja .
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em na direção de para .
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante