Seja
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de
em
na direção de
para
.
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é uma ferramenta importante no cálculo de derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção que vai de
até
. Esse vetor é dado por:
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na direção desejada. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pela sua magnitude (comprimento).
Passo 3
Calculamos a magnitude do vetor
:
Portanto, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Portanto, o gradiente
é:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)
g)
Seja
.
a) Ache o gradiente de no ponto
.
a) Ache o gradiente de
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante
h)
Use o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha
ao redor de uma curva fechada simples
dá duas vezes a área da região delimitada por
.