Seja .
b) Use o gradiente para achar a derivada direcional de em na direção de para .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é uma ferramenta importante no cálculo de derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção que vai de até . Esse vetor é dado por:
Agora, vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na direção desejada. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pela sua magnitude (comprimento).

Passo 3

Calculamos a magnitude do vetor :
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Portanto, o gradiente é:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
g)
Seja .
a) Ache o gradiente de no ponto .
Utilize a separação de variáveis para achar, se possível, soluções em forma de produto para a equação de derivadas parciais dada.
h) , g constante
Use o Teorema de Green para mostrar que a integral de linha ao redor de uma curva fechada simples dá duas vezes a área da região delimitada por .