Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: não é analítica em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é analítica em todo o conjunto dos números complexos . Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente a definição de funções analíticas.

Passo 2

Uma função é dita analítica em uma região se ela é diferenciável em todo ponto dessa região e se sua derivada é contínua. Isso significa que a função precisa ser bem comportada, sem pontos de descontinuidade ou singularidades.

Passo 3

Vamos analisar a função . O primeiro termo, , é um polinômio e, portanto, é analítico em todo . O segundo termo, , é uma função racional que possui uma singularidade quando , pois não está definida nesse ponto.

Passo 4

Como não é definida em , a função apresenta uma singularidade nesse ponto. Isso significa que não é analítica em todo , já que falta a analiticidade em pelo menos um ponto do conjunto.

Resposta

A afirmação é verdadeira: a função não é analítica em devido à presença de uma singularidade em .

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Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: , não é analítica para todo .
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: , é analítica para todo .
Seja um campo vetorial.
(a) Defina o divergente e o rotacional de ;
(b) que ;
© Mostre que se for um campo conservativo, então ;
(d) Utilize o item (b) para mostrar que não existe tal que ;
(e) Utilize o item © para mostrar que não é conservativo.