Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
não é analítica em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é analítica em todo o conjunto dos números complexos
. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente a definição de funções analíticas.
Passo 2
Uma função
é dita analítica em uma região se ela é diferenciável em todo ponto dessa região e se sua derivada é contínua. Isso significa que a função precisa ser bem comportada, sem pontos de descontinuidade ou singularidades.
Passo 3
Vamos analisar a função
. O primeiro termo,
, é um polinômio e, portanto, é analítico em todo
. O segundo termo,
, é uma função racional que possui uma singularidade quando
, pois não está definida nesse ponto.
Passo 4
Como
não é definida em
, a função
apresenta uma singularidade nesse ponto. Isso significa que
não é analítica em todo
, já que falta a analiticidade em pelo menos um ponto do conjunto.
Resposta
A afirmação é verdadeira: a função
não é analítica em
devido à presença de uma singularidade em
.