Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: q(z) = z^2 + 1 / z^2 não é analítica em C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é analítica em todo o conjunto dos números complexos . Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente a definição de funções analíticas.

Passo 2

Uma função é dita analítica em uma região se ela é diferenciável em todo ponto dessa região e se sua derivada é contínua. Isso significa que a função precisa ser bem comportada, sem pontos de descontinuidade ou singularidades.

Passo 3

Vamos analisar a função . O primeiro termo, , é um polinômio e, portanto, é analítico em todo . O segundo termo, , é uma função racional que possui uma singularidade quando , pois não está definida nesse ponto.

Passo 4

Como não é definida em , a função apresenta uma singularidade nesse ponto. Isso significa que não é analítica em todo , já que falta a analiticidade em pelo menos um ponto do conjunto.

Resposta

A afirmação é verdadeira: a função não é analítica em devido à presença de uma singularidade em .

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