Seja . Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de três variáveis: . O que a gente precisa fazer é calcular a derivada parcial de terceira ordem dessa função, primeiro em relação a , depois a , e por fim a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembre-se que, ao derivar em relação a , consideramos e como constantes.

Passo 3

Derivando cada termo de em relação a :
  1. Para , aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então multiplicamos pela derivada de em relação a , que é . Portanto, a derivada é .
  2. Para , a derivada em relação a é simplesmente , já que é constante.
  3. Para , como não há nessa expressão, a derivada em relação a é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, .

Passo 5

Derivando cada termo em relação a :
  1. Para , usamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que dá , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Então, a derivada total desse termo é .
  2. Para , que não depende de , a derivada é .
Assim, temos:

Passo 6

Por fim, vamos derivar em relação a , ou seja, .

Passo 7

Derivando cada termo em relação a :
  1. Para , aplicamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que é , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Então, a derivada total desse termo é .
  2. Para , novamente usamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que é , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Assim, a derivada total desse termo é .
Somando os dois resultados:

Resposta

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Seja . Calcule:
Determine as derivadas parciais de ordem das seguintes funções:
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
© .
Determine as derivadas parciais de ordem das seguintes funções: