Seja
. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de três variáveis:
. O que a gente precisa fazer é calcular a derivada parcial de terceira ordem dessa função, primeiro em relação a
, depois a
, e por fim a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, consideramos
e
como constantes.
Passo 3
Derivando cada termo de
em relação a
:
- Para
, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então multiplicamos pela derivada de em relação a , que é . Portanto, a derivada é . - Para
, a derivada em relação a é simplesmente , já que é constante. - Para
, como não há nessa expressão, a derivada em relação a é .
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Passo 5
Derivando cada termo em relação a
:
- Para
, usamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que dá , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Então, a derivada total desse termo é . - Para
, que não depende de , a derivada é .
Assim, temos:
Passo 6
Por fim, vamos derivar
em relação a
, ou seja,
.
Passo 7
Derivando cada termo em relação a
:
- Para
, aplicamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que é , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Então, a derivada total desse termo é . - Para
, novamente usamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que é , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Assim, a derivada total desse termo é .
Somando os dois resultados:
Resposta
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Seja
. Calcule:
Determine as derivadas parciais de
ordem das seguintes funções:
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
© .
©
Determine as derivadas parciais de
ordem das seguintes funções: