Seja f(x, y, z)=e^x y z+3 x^2 z+ln (x y^2). Calcule: partial^3partial x partial y fpartial z(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de três variáveis: . O que a gente precisa fazer é calcular a derivada parcial de terceira ordem dessa função, primeiro em relação a , depois a , e por fim a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembre-se que, ao derivar em relação a , consideramos e como constantes.

Passo 3

Derivando cada termo de partial fpartial z = xy e^xyz + 3x^2 em relação a :
  1. Para , aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então multiplicamos pela derivada de em relação a , que é . Portanto, a derivada é .
  2. Para , a derivada em relação a é simplesmente , já que é constante.
  3. Para , como não há nessa expressão, a derivada em relação a é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, .

Passo 5

Derivando cada termo em relação a partialpartial y ( xy e^xyz + 3x^2 ) = x e^xyz + x^2z e^xyz :
  1. Para , usamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que dá , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Então, a derivada total desse termo é .
  2. Para , que não depende de , a derivada é .
Assim, temos:

Passo 6

Por fim, vamos derivar em relação a , ou seja, .

Passo 7

Derivando cada termo em relação a partialpartial x ( x e^xyz + x^2z e^xyz ) = e^xyz + xyz e^xyz + 2x z e^xyz + x^2 z^2 y e^xyz :
  1. Para , aplicamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que é , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Então, a derivada total desse termo é .
  2. Para , novamente usamos a regra do produto. Derivamos em relação a , que é , e multiplicamos por . Depois, mantemos e derivamos em relação a , que é . Assim, a derivada total desse termo é .
Somando os dois resultados:

Resposta

partial^3 fpartial x partial y partial z = e^xyz (1 + xyz + 2xz + x^2 z^2 y)

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