O volume
de um cone circular reto de raio
e altura
é dado por
. Encontre uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
permanecer constante;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O enunciado fala sobre o volume de um cone circular reto, que é dado pela fórmula
. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga como esse volume muda quando o raio
muda, mantendo a altura
constante. Isso envolve calcular a taxa de variação instantânea de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com derivadas aqui. A derivada nos dá a taxa na qual uma quantidade está mudando em relação a outra. No caso, queremos saber como
muda quando
muda, mantendo
fixa. Isso significa que vamos derivar a fórmula do volume
em relação a
.
Passo 3
Vamos reescrever a fórmula do volume para deixar claro que
é uma constante:
Como
é constante, podemos tratá-lo como um número fixo durante a derivação.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da derivada:
Passo 5
Simplificando a expressão, multiplicamos os números juntos:
Resposta
A taxa de variação instantânea do volume
em relação ao raio
, mantendo a altura
constante, é dada por:
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
Seja
. Determine:
.
Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
Encontre as derivadas des seguintes funcoès: