O volume de um cone circular reto de raio e altura é dado por . Encontre uma fórmula para a taxa de variação instantânea de em relação a se variar e permanecer constante;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O enunciado fala sobre o volume de um cone circular reto, que é dado pela fórmula . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga como esse volume muda quando o raio muda, mantendo a altura constante. Isso envolve calcular a taxa de variação instantânea de em relação a , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com derivadas aqui. A derivada nos dá a taxa na qual uma quantidade está mudando em relação a outra. No caso, queremos saber como muda quando muda, mantendo fixa. Isso significa que vamos derivar a fórmula do volume em relação a .

Passo 3

Vamos reescrever a fórmula do volume para deixar claro que é uma constante:
Como é constante, podemos tratá-lo como um número fixo durante a derivação.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da derivada:

Passo 5

Simplificando a expressão, multiplicamos os números juntos:

Resposta

A taxa de variação instantânea do volume em relação ao raio , mantendo a altura constante, é dada por:

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