Seja f(z) uma função inteira. Mostre que a função g(z) = f(bar(z)) bar também é inteira. Mostre que h(z) = f(z) barra é derivável em 0 se, e somente se, f'(0) = 0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função inteira , ou seja, uma função que é analítica em todo o plano complexo. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. A função também é inteira.
  2. A função é derivável em 0 se, e somente se, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inteira, como funcionam as operações de conjugação complexa e derivação no contexto de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função inteira é uma função que é holomorfa (ou seja, analítica e diferenciável em todas as ordens) em todo o plano complexo. Isso significa que podemos expandir em uma série de potências convergente em todo :

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Substituindo pela sua série de potências:
Aqui, usamos a propriedade de que o conjugado de uma soma é a soma dos conjugados, e o conjugado de é .

Passo 4

Observamos que também é uma série de potências com coeficientes . Como a série de converge em todo o plano complexo, a série de também converge em todo . Portanto, é uma função inteira.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Queremos mostrar que é derivável em 0 se, e somente se, .
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser derivável em um ponto no sentido complexo, ela deve satisfazer as condições de Cauchy-Riemann nesse ponto.

Passo 6

Vamos escrever como , onde . Então:
Para ser derivável em 0, as derivadas parciais de e devem satisfazer as condições de Cauchy-Riemann em :

Passo 7

Simplificando as equações das condições de Cauchy-Riemann:
Mas sabemos que é holomorfa, então e também satisfazem as condições de Cauchy-Riemann:

Passo 8

Comparando as duas séries de equações, percebemos que para as condições de Cauchy-Riemann de serem satisfeitas, precisamos que:
Isso implica que em , o que significa que a derivada de em 0, , que é , deve ser igual a zero.

Passo 9

Portanto, mostramos que é derivável em 0 se, e somente se, .

Resposta

Assim, concluímos que:
  1. A função é inteira.
  2. A função é derivável em 0 se, e somente se, .

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