Mostre que para ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas que não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar o limite de uma função complexa quando se aproxima de 0. A função é definida de forma diferente para e para . Precisamos mostrar duas coisas:
Que tende a 0 ao se aproximar de 0 por qualquer reta que passa pela origem.
Que o limite geral não existe.
Vamos usar conhecimentos de limites de funções de variáveis complexas e analisar diferentes caminhos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida assim:
Aqui, , onde e são as partes real e imaginária de , respectivamente.
Passo 3
Queremos calcular . Como , isso simplifica para :
Passo 4
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por (o conjugado de ) para eliminar o número imaginário do denominador:
Passo 5
Agora, vamos escolher uma reta que passa pela origem para analisar o limite. Uma reta pode ser representada por , onde é a inclinação da reta.
Passo 6
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Passo 7
Observando os termos de , podemos fatorar do denominador e numerador:
Quando tende a 0, o denominador tende a , então:
Simplificando mais, percebemos que os termos com cancelam e o limite tende a 0.
Passo 8
Agora, precisamos mostrar que esse comportamento não se mantém para todos os caminhos, ou seja, o limite geral não existe. Para isso, vamos escolher dois caminhos diferentes que dão resultados distintos.
Passo 9
Primeiro, vamos considerar o caminho ao longo do eixo real, ou seja, :
Então, o limite é 0.
Agora, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, :
Simplificando:
Quando , isso tende a , que não é 0.
Passo 10
Como obtivemos resultados diferentes (0 e ) ao escolher caminhos diferentes para se aproximando de 0, isso significa que o limite geral não existe, já que o valor depende do caminho seguido.
Resposta
Portanto, mostramos que tende a 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas o limite geral não existe.