Seja
f(z)= x^3 y(y-i x)x^6+y^2 & se z neq 0 0 & se z=0
Mostre que f(z)-f(0)z-0 0 para z 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas que lim z 0 f(z)-f(0)z-0 não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar o limite de uma função complexa quando se aproxima de 0. A função é definida de forma diferente para e para . Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que tende a 0 ao se aproximar de 0 por qualquer reta que passa pela origem.
  2. Que o limite geral não existe.
Vamos usar conhecimentos de limites de funções de variáveis complexas e analisar diferentes caminhos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(z)= x^3 y(y - i x)x^6+y^2 & se z neq 0 0 & se z = 0 . Ela é definida assim:
Aqui, , onde e são as partes real e imaginária de , respectivamente.

Passo 3

Queremos calcular f(z)z = x^3 y(y - i x)x^6+y^2x + i y . Como , isso simplifica para :

Passo 4

Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por f(z)z = x^3 y(y - i x)(x - i y)(x^6+y^2)(x + i y)(x - i y) = x^3 y(y - i x)(x - i y)(x^6+y^2)(x^2 + y^2) (o conjugado de ) para eliminar o número imaginário do denominador:

Passo 5

Agora, vamos escolher uma reta que passa pela origem para analisar o limite. Uma reta pode ser representada por , onde é a inclinação da reta.

Passo 6

Substituindo f(z)z = x^3 (k x)(k x - i x)(x - i k x)(x^6 + (k x)^2)(x^2 + (k x)^2) na expressão de f(z)z = x^4 (k)(k - i)(1 - i k)x^6 + k^2 x^2 cdot 1x^2 + k^2 x^2 :
Simplificando:

Passo 7

Observando os termos de f(z)z = k(k - i)(1 - i k)x^4 + k^2 cdot 11 + k^2 , podemos fatorar limx to 0 f(z)z = k(k - i)(1 - i k)k^2(1 + k^2) = (k - i)(1 - i k)k(1 + k^2) do denominador e numerador:
Quando tende a 0, o denominador tende a , então:
Simplificando mais, percebemos que os termos com cancelam e o limite tende a 0.

Passo 8

Agora, precisamos mostrar que esse comportamento não se mantém para todos os caminhos, ou seja, o limite geral não existe. Para isso, vamos escolher dois caminhos diferentes que dão resultados distintos.

Passo 9

Primeiro, vamos considerar o caminho ao longo do eixo real, ou seja, f(z)z = x^3 cdot 0 cdot (0 - i x)x^6 + 0x = 0 :
f(z)z = x^3 cdot x^3 (x^3 - i x)x^6 + x^6 cdot 1x + i x^3 = x^6(x^3 - i x)2x^6 cdot 1x(1 + i x^2)
Então, o limite é 0.
Agora, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, f(z)z = x^3 - i x2 cdot 1x(1 + i x^2) = 1 - i x^22(1 + i x^2) :
Simplificando:
Quando , isso tende a , que não é 0.

Passo 10

Como obtivemos resultados diferentes (0 e ) ao escolher caminhos diferentes para se aproximando de 0, isso significa que o limite geral não existe, já que o valor depende do caminho seguido.

Resposta

Portanto, mostramos que tende a 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas o limite geral não existe.

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