Para quais valores de z vale exp(i z) = overline(exp(i z)) ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todos os valores de para os quais é igual ao seu conjugado, ou seja, . Isso envolve trabalhar com números complexos e propriedades das exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.

Passo 3

O conjugado de , denotado por , é dado por . Então, vamos substituir isso na expressão original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da exponencial:
Portanto,

Passo 5

Sabemos que , então:

Passo 6

Para que seja igual ao seu conjugado, precisamos que:

Passo 7

Cancelando dos dois lados, ficamos com:
Isso implica que:

Passo 8

Simplificando, temos:
O que leva a:

Passo 9

A equação é satisfeita para , onde é um número inteiro.

Resposta

Todos os números complexos da forma , onde é inteiro e é real, satisfazem a condição .

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