Seja : Determine e para que seja conservativo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um campo vetorial dado por e queremos encontrar os valores de e que fazem com que seja conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar. Para verificar isso, precisamos que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos e condições de igualdade das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos denotar o campo vetorial como , onde: Para que seja conservativo, deve satisfazer as seguintes condições de igualdade das derivadas parciais:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais. Primeira condição: Portanto, , o que está ok.

Passo 4

Segunda condição: Para que sejam iguais:

Passo 5

Terceira condição: Para que sejam iguais:

Resposta

Os valores que tornam um campo vetorial conservativo são e .

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