Seja . Calcule a integral de linha de em torno do perímetro do quadrado com vértices e , orientado no sentido anti-horário em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao redor do perímetro de um quadrado no espaço, com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial fechado a uma integral de superfície do rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de , denotado por , mede a circulação do campo em cada ponto do espaço. Calculamos ele usando a seguinte fórmula:

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional de : - **Componente **: Portanto, a componente é . - **Componente **: Portanto, a componente é . - **Componente **: Portanto, a componente é . Então, o rotacional de é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes. Precisamos escolher uma superfície cujo bordo seja o caminho do quadrado dado. Como o quadrado está no plano , podemos escolher essa própria face plana como superfície. A orientação da superfície deve ser compatível com a orientação do caminho. Como o caminho é anti-horário quando visto do eixo , a normal à superfície será na direção positiva de , ou seja, .

Passo 5

Vamos calcular a integral de superfície do rotacional de vezes a normal: Aqui, só a componente do rotacional contribui, já que .

Passo 6

Como a superfície é o quadrado no plano com vértices de a e a , os limites de integração para e são de a . Então, a integral fica: Primeiro, integramos em : Agora, integramos em :

Resposta

A integral de linha de ao redor do quadrado dado é igual a .

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