Seja . Calcule a integral de linha de em torno do perímetro do quadrado com vértices e , orientado no sentido anti-horário em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao redor do perímetro de um quadrado no espaço, com vértices em , , e . Para isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial fechado a uma integral de superfície do rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de , denotado por , mede a circulação do campo em cada ponto do espaço. Calculamos ele usando a seguinte fórmula:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional de :
- **Componente **:
Portanto, a componente é .
- **Componente **:
Portanto, a componente é .
- **Componente **:
Portanto, a componente é .
Então, o rotacional de é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes. Precisamos escolher uma superfície cujo bordo seja o caminho do quadrado dado. Como o quadrado está no plano , podemos escolher essa própria face plana como superfície.
A orientação da superfície deve ser compatível com a orientação do caminho. Como o caminho é anti-horário quando visto do eixo , a normal à superfície será na direção positiva de , ou seja, .
Passo 5
Vamos calcular a integral de superfície do rotacional de vezes a normal:
Aqui, só a componente do rotacional contribui, já que .
Passo 6
Como a superfície é o quadrado no plano com vértices de a e a , os limites de integração para e são de a .
Então, a integral fica:
Primeiro, integramos em :
Agora, integramos em :
Resposta
A integral de linha de ao redor do quadrado dado é igual a .
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Calcule , onde é a curva obtida pela intersecção das superfícies e e orientada no sentido anti-horário em torno do eixo .