Seja
uma função contínua cujo gráfico passa pelos pontos
e
. Calcule os seguintes limites, justificando sua resposta:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua
que passa pelos pontos
e
. Nosso objetivo aqui é calcular alguns limites usando essas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender como a continuidade da função nos ajuda a encontrar os valores que ela assume perto dos pontos específicos que temos.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a):
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver assim.
Numerador:
Denominador:
Então, ao substituir
, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos usar outra estratégia para resolver o limite, já que a substituição direta não funcionou.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma forma indeterminada
, uma das ferramentas que podemos usar é a regra de L’Hospital. No entanto, para aplicar essa regra, precisamos que a função seja diferenciável. Como só sabemos que
é contínua, não podemos garantir a diferenciabilidade. Então, vamos usar uma aproximação para
perto de
.
Sabemos que
é contínua em
, então podemos aproximar
por uma expansão em série de Taylor em torno de
:
Como não conhecemos
, vamos simplificar a análise considerando que
se aproxima de
quando
está perto de 0.
Passo 4
Vamos expandir o numerador e o denominador usando a aproximação:
Para o numerador:
Para o denominador:
Passo 5
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
Resposta
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Calcule os limites:
;
Calcule os limites:
;
Determine a derivada
das curvas dadas abaixo:
Calcule as derivadas das funções abaixo:
;