Seja uma função contínua cujo gráfico passa pelos pontos e . Calcule os seguintes limites, justificando sua resposta:
(a)
(b)
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua que passa pelos pontos e . Nosso objetivo aqui é calcular alguns limites usando essas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender como a continuidade da função nos ajuda a encontrar os valores que ela assume perto dos pontos específicos que temos.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a):
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver assim.
Numerador:
Denominador:
Então, ao substituir , temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos usar outra estratégia para resolver o limite, já que a substituição direta não funcionou.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada , uma das ferramentas que podemos usar é a regra de L’Hospital. No entanto, para aplicar essa regra, precisamos que a função seja diferenciável. Como só sabemos que é contínua, não podemos garantir a diferenciabilidade. Então, vamos usar uma aproximação para perto de .
Sabemos que é contínua em , então podemos aproximar por uma expansão em série de Taylor em torno de :
Como não conhecemos , vamos simplificar a análise considerando que se aproxima de quando está perto de 0.

Passo 4

Vamos expandir o numerador e o denominador usando a aproximação:
Para o numerador:
Para o denominador:

Passo 5

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:

Resposta

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