Seja f: R R uma função contínua cujo gráfico passa pelos pontos (0,-3),(1,-7) e (2,5). Calcule os seguintes limites, justificando sua resposta:
(a) lim x 0 raizx+9+f(x)f(x)^2-x-9
(b) lim x 2 5^3 x-5-5x cdot f(x^2-2) cdot tg(4 x-8)
© lim x +infty (5 x^4+raiz[3]x^7-6) cdot f(xx+1)(4 x^3-x+7) cdot f(-x^4+3 x-5x^7+2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua que passa pelos pontos e . Nosso objetivo aqui é calcular alguns limites usando essas informações. Para resolver isso, vamos precisar entender como a continuidade da função nos ajuda a encontrar os valores que ela assume perto dos pontos específicos que temos.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a):
lim x 0 raizx+9+f(x)f(x)^2-x-9
Primeiro, vamos tentar substituir raiz0 + 9 + f(0) = 3 + (-3) = 0 diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver assim.
Numerador:
f(0)^2 - 0 - 9 = (-3)^2 - 0 - 9 = 9 - 9 = 0
Denominador:
Então, ao substituir , temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos usar outra estratégia para resolver o limite, já que a substituição direta não funcionou.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada f(x) approx f(0) + f'(0)x , uma das ferramentas que podemos usar é a regra de L’Hospital. No entanto, para aplicar essa regra, precisamos que a função seja diferenciável. Como só sabemos que é contínua, não podemos garantir a diferenciabilidade. Então, vamos usar uma aproximação para perto de .
Sabemos que é contínua em , então podemos aproximar por uma expansão em série de Taylor em torno de :
Como não conhecemos , vamos simplificar a análise considerando que se aproxima de quando está perto de 0.

Passo 4

Vamos expandir o numerador e o denominador usando a aproximação:
Para o numerador:
raizx + 9 + f(x) approx raiz9 + f(0) + x2raiz9 = 3 - 3 + x6 = x6
Para o denominador:
f(x)^2 - x - 9 approx f(0)^2 - x - 9 = (-3)^2 - x - 9 = 9 - x - 9 = -x

Passo 5

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
lim x 0 x6-x = lim x 0 16 cdot x-x = 16 cdot (-1) = -16

Resposta

lim x 0 raizx+9+f(x)f(x)^2-x-9 = -16

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