Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo. Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y = P - A indica o valor da diferença entre os números P e A. O maior valor de Y é igual a:
A) 2√3
B) 3√3
C) 4√3
D) 6√3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo equilátero com perímetro $ P $ e área $ A $. Ambas as medidas dependem do comprimento do lado do triângulo. A expressão $ Y = P - A $ representa a diferença entre o perímetro e a área desse triângulo. Queremos encontrar o maior valor possível de $ Y $.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o perímetro $ P $ e a área $ A $ em função do lado do triângulo, que vamos chamar de $ a $.
  • Perímetro ($ P $): Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. Então, o perímetro é simplesmente três vezes o comprimento de um lado:
    P
  • Área ($ A $): A área de um triângulo equilátero pode ser calculada usando a fórmula:
    A

Passo 3

Agora, substituímos $ P $ e $ A $ na expressão de $ Y $:
P
Essa é uma função quadrática em relação a $ a $, e queremos encontrar o valor de $ a $ que maximiza $ Y $.

Passo 4

Para encontrar o valor que maximiza a função quadrática, usamos o ponto do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o valor de $ a $ que maximiza $ Y $ é:
a
Na nossa equação $ Y = -\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + 3a $, os coeficientes são $ b = 3 $ e $ a = -\frac{\sqrt{3}}{4} $. Substituindo:
Y

Passo 5

Agora que temos o valor de $ a $ que maximiza $ Y $, vamos substituir de volta na expressão de $ Y $ para encontrar o valor máximo:
a á
Y á

Resposta

O maior valor de $ Y $ é igual a $ 3\sqrt{3} $, que corresponde à opção B).

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