Seja f: R R a função dada por f(x)=-2 x+7.
(a) Dado epsilon>0, determine de0 tal que se |x-3|, então |(-2 x+7)-1|.
(b) Conclua que lim x 3 f(x)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa trabalhar com limites usando a definição de - . No item (a), a gente precisa achar um valor de que, dado um , garante que se , então . No item (b), vamos concluir que o limite de quando se aproxima de 3 é igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de limites e entender bem a relação entre e .

Passo 2

Vamos começar pelo item (a). A ideia aqui é encontrar um que depende de um dado, de forma que a diferença entre e 1 seja menor que sempre que esteja suficientemente perto de 3, ou seja, .

Passo 3

Primeiro, vamos entender o que significa |(-2x + 7) - 1| = |-2x + 6| = 2|x - 3| . Substituindo na expressão, temos:
Então, queremos que .

Passo 4

Para que isso seja verdade, basta que 2|x - 3| < epsilon Rightarrow |x - 3| < epsilon2 . Isso porque se multiplicarmos ambos os lados dessa inequação por 2, obtemos exatamente .

Passo 5

Então, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos , garantindo o que foi pedido.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). A partir do que fizemos no item (a), mostramos que para todo , existe um tal que se , então . Isso é exatamente a definição de que o limite de quando se aproxima de 3 é 1.

Resposta

(a)
(b)

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