Seja
a função dada por
.
(a) Dado
, determine
tal que se
, então
.
(b) Conclua que
.
(a) Dado
(b) Conclua que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa trabalhar com limites usando a definição de
-
. No item (a), a gente precisa achar um valor de
que, dado um
, garante que se
, então
. No item (b), vamos concluir que o limite de
quando
se aproxima de 3 é igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de limites e entender bem a relação entre
e
.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a). A ideia aqui é encontrar um
que depende de um
dado, de forma que a diferença entre
e 1 seja menor que
sempre que
esteja suficientemente perto de 3, ou seja,
.
Passo 3
Primeiro, vamos entender o que significa
. Substituindo
na expressão, temos:
Então, queremos que
.
Passo 4
Para que isso seja verdade, basta que
. Isso porque se multiplicarmos ambos os lados dessa inequação por 2, obtemos exatamente
.
Passo 5
Então, podemos escolher
. Assim, sempre que
, teremos
, garantindo o que foi pedido.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b). A partir do que fizemos no item (a), mostramos que para todo
, existe um
tal que se
, então
. Isso é exatamente a definição de que o limite de
quando
se aproxima de 3 é 1.
Resposta
(a)
(b)