Verifique que o vetor X é uma solução do sistema dado:
12. dx/dt = -2x + 5y
d/y dt = -2 x + 4 y ; X = (5 cos t, 3 cos t - sen t) e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais:
E um vetor dado por:
Nosso objetivo é verificar se esse vetor X é uma solução para o sistema. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas de x e y em relação a t e ver se elas satisfazem as equações do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor X. Temos:
Agora, vamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular . Usamos a regra do produto aqui, já que :
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Novamente, usamos a regra do produto para :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora que temos e , vamos substituir x(t) e y(t) nas equações do sistema para verificar se elas são satisfeitas.
Primeiro, a equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Ambos os lados são iguais!

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Mais uma vez, ambos os lados são iguais!

Resposta

Como ambas as equações do sistema são satisfeitas ao substituir o vetor X e suas derivadas, podemos concluir que é, de fato, uma solução do sistema dado.

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