Verifique que o vetor X é uma solução do sistema dado:
12.
12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais:
E um vetor dado por:
Nosso objetivo é verificar se esse vetor
é uma solução para o sistema. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e
em relação a
e ver se elas satisfazem as equações do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor
. Temos:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Usamos a regra do produto aqui, já que
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Novamente, usamos a regra do produto para
:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos substituir
e
nas equações do sistema para verificar se elas são satisfeitas.
Primeiro, a equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Ambos os lados são iguais!
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo:
Mais uma vez, ambos os lados são iguais!
Resposta
Como ambas as equações do sistema são satisfeitas ao substituir o vetor
e suas derivadas, podemos concluir que
é, de fato, uma solução do sistema dado.