Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função f(x) = ((x^2 + 1)^x * ln(2 + cos(x))) / raiz(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando derivação logarítmica. O que a gente precisa é encontrar a derivada da função . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a derivação logarítmica em funções que são combinações de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que . Então, podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para usar a derivação logarítmica:
Usando propriedades dos logaritmos, isso fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 5

Vamos calcular cada derivada separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, juntando tudo:

Passo 7

Finalmente, isolamos :
Substituindo de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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