Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando derivação logarítmica. O que a gente precisa é encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a derivação logarítmica em funções que são combinações de potências e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que
. Então, podemos reescrever a função como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para usar a derivação logarítmica:
Usando propriedades dos logaritmos, isso fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Vamos calcular cada derivada separadamente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Substituindo
de volta:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Seja a função
Determine o domínio de
, a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).
Seja a função
Determine as assíntotas de
(se houver).
Seja a função
Determine as concavidades e pontos de inflexão de
.
Seja a função
Determine as concavidades e pontos de inflexão de
.