Seja a função Determine as concavidades e pontos de inflexão de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir onde essa função é côncava para cima ou para baixo, além de encontrar os pontos de inflexão. Isso envolve calcular a segunda derivada da função. Então, o que vamos precisar:
  • Primeira derivada
  • Segunda derivada
  • Analisar os sinais de para concavidade
  • Encontrar onde para os pontos de inflexão

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada . Temos uma função racional, então vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que para , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador de :
Primeiro, expandindo os termos:
Subtraindo os dois resultados:
Então, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar novamente. Vamos usar a regra do quociente uma vez mais.
Temos:
onde e .
A derivada de será:

Passo 6

Vamos calcular e :
Para , usamos a regra da cadeia:
Agora, substituindo na fórmula da segunda derivada:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão para :
Primeiro, fatorando no numerador:
Podemos cancelar um do numerador com o denominador:
Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Primeiro, expandindo :
Agora, expandindo :
Primeiro, multiplicando :
Multiplicando por 2:
Agora, subtraindo esse resultado do primeiro:
Então, a segunda derivada fica:

Passo 8

Para determinar as concavidades e os pontos de inflexão, vamos analisar o sinal de :
  • Concavidade para cima: Onde
  • Concavidade para baixo: Onde
  • Pontos de inflexão: Onde e o sinal de muda
Primeiro, vamos encontrar onde :
Esta é uma equação cúbica que pode ser resolvida por métodos de fatoração ou utilizando a fórmula de Cardano, mas geralmente requer métodos numéricos para soluções exatas. Para simplificar, podemos usar uma calculadora ou software para encontrar as raízes aproximadas.
Após encontrar os valores de que satisfazem , verificamos a mudança de sinal da segunda derivada nesses pontos para confirmar se são realmente pontos de inflexão.
Além disso, precisamos considerar onde o denominador , ou seja, nos pontos onde . Resolvendo:
Nestes pontos, a função tem assíntotas verticais e a concavidade pode mudar devido à indefinição da função nesses valores de .

Resposta

Após calcular a segunda derivada e analisar seu sinal, concluímos que:
  • Concavidade para cima ocorre nos intervalos onde .
  • Concavidade para baixo ocorre nos intervalos onde .
  • Pontos de inflexão são encontrados onde e há mudança de concavidade.
Os pontos específicos de inflexão podem ser determinados resolvendo a equação cúbica , que requer métodos numéricos. Além disso, devemos considerar as assíntotas verticais em e , onde a concavidade pode mudar devido à indefinição da função.

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