Seja a função Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos extremos de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra gente analisar a função . A gente vai trabalhar com cálculo, mais especificamente com derivadas, pra encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo e também identificar os pontos extremos dela. Pra isso, vamos precisar derivar a função e analisar o sinal da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Lembra que pra derivar uma fração, usamos a regra do quociente: se , então a derivada é .
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, distribuímos:
Agora, subtraímos:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada . Precisamos achar os valores de onde ou onde a derivada é indefinida.
Primeiro, igualamos o numerador a zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes: e .

Passo 7

Além disso, a derivada é indefinida quando o denominador é zero. Vamos resolver:
Usando Bhaskara novamente:
Assim, e .
Portanto, os pontos críticos são , , e .

Passo 8

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos e escolher um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal da derivada:

Passo 9

Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
  1. : Escolha
    Então, está crescente nesse intervalo.
  2. : Escolha
    está crescente aqui também.
  3. : Escolha
    Agora, está decrescente.
  4. : Escolha
    Continua decrescente.
  5. : Escolha
    está crescente novamente.

Passo 10

Com base nisso, identificamos os pontos extremos:
  • Nos pontos onde a derivada muda de positiva para negativa ( ) e de negativa para positiva ( ), temos respectivamente um máximo e um mínimo local.

Resposta

A função é crescente nos intervalos , e , e é decrescente nos intervalos e . Além disso, apresenta um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em .

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