Seja a função
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos extremos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra gente analisar a função
. A gente vai trabalhar com cálculo, mais especificamente com derivadas, pra encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo e também identificar os pontos extremos dela. Pra isso, vamos precisar derivar a função e analisar o sinal da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Lembra que pra derivar uma fração, usamos a regra do quociente: se
, então a derivada é
.
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, distribuímos:
Agora, subtraímos:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada
. Precisamos achar os valores de
onde
ou onde a derivada é indefinida.
Primeiro, igualamos o numerador a zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
e
.
Passo 7
Além disso, a derivada é indefinida quando o denominador é zero. Vamos resolver:
Usando Bhaskara novamente:
Assim,
e
.
Portanto, os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 8
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos usando esses pontos críticos e escolher um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal da derivada:
Passo 9
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
-
: Escolha Então,está crescente nesse intervalo. -
: Escolha está crescente aqui também. -
: Escolha Agora,está decrescente. -
: Escolha Continua decrescente. -
: Escolha está crescente novamente.
Passo 10
Com base nisso, identificamos os pontos extremos:
- Nos pontos onde a derivada muda de positiva para negativa (
) e de negativa para positiva ( ), temos respectivamente um máximo e um mínimo local.
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
,
e
, e é decrescente nos intervalos
e
. Além disso, apresenta um ponto de máximo local em
e um ponto de mínimo local em
.
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