Seja a função Determine as concavidades e pontos de inflexão de .

Passo 1

Ok, então a gente tem a função . A missão aqui é descobrir as concavidades dessa função e onde ela muda de concavidade, ou seja, os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, o que é útil para entender seu comportamento. Como temos uma função que é o quociente de dois polinômios, vamos usar a regra do quociente, que diz:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular e :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Isso indica que a derivada primeira é zero, mas precisamos analisar mais a fundo para entender o comportamento da função.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada , que nos ajuda a determinar a concavidade da função. Se , a função é côncava para cima, e se , é côncava para baixo. Além disso, onde a concavidade muda, temos um ponto de inflexão.
Para calcular , vamos derivar . Como , a segunda derivada é simplesmente:
Isso sugere que a função não tem concavidades e nem pontos de inflexão, pois a segunda derivada é constante.

Passo 5

No entanto, essa conclusão parece estranha, então vamos verificar novamente nossos cálculos para garantir que não houve um erro. Recalculando a primeira derivada:
Isso confirma que a derivada primeira é zero em todo o domínio onde a função está definida, o que é um comportamento atípico e sugere que a função é constante. Porém, observando o enunciado, percebemos que isso não faz sentido, indicando que a função pode ter sido simplificada incorretamente.
Vamos fatorar os polinômios:
Portanto,
Agora, observando essa forma simplificada, vemos que a função pode ter comportamentos diferentes nos intervalos definidos pelos valores que anulam o denominador ( e ).

Resposta

Após a análise, concluímos que a função não apresenta concavidades nem pontos de inflexão, já que sua segunda derivada é constante e igual a zero.

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