Seja a função Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos extremos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função e descobrir em quais intervalos ela está aumentando ou diminuindo, além de encontrar os pontos extremos (máximos e mínimos). Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se ela está crescendo ou decrescendo em cada intervalo.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Perceba que as duas partes se cancelam, resultando em zero. Isso significa que a derivada é zero para todos os onde a função está definida.

Passo 6

No entanto, precisamos verificar onde a derivada existe. A derivada não existe onde o denominador é zero, ou seja, onde .
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 7

Portanto, a função não está definida em e . Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:

Passo 8

Como a derivada é zero em todos os intervalos onde a função está definida, isso indica que a função é constante nesses intervalos. Ou seja, a função não está nem crescendo nem decrescendo em nenhum intervalo.

Passo 9

Como a função é constante nos intervalos, não há pontos de máximo ou mínimo. Portanto, não há pontos extremos na função.

Resposta

A função é constante nos intervalos , e . Ela não apresenta comportamento de crescimento ou decrescimento nesses intervalos e não possui pontos extremos.

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