Seja a função
Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos extremos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
e descobrir em quais intervalos ela está aumentando ou diminuindo, além de encontrar os pontos extremos (máximos e mínimos). Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, se ela está crescendo ou decrescendo em cada intervalo.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Perceba que as duas partes se cancelam, resultando em zero. Isso significa que a derivada é zero para todos os
onde a função está definida.
Passo 6
No entanto, precisamos verificar onde a derivada existe. A derivada não existe onde o denominador é zero, ou seja, onde
.
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 7
Portanto, a função não está definida em
e
. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
Passo 8
Como a derivada é zero em todos os intervalos onde a função está definida, isso indica que a função é constante nesses intervalos. Ou seja, a função não está nem crescendo nem decrescendo em nenhum intervalo.
Passo 9
Como a função é constante nos intervalos, não há pontos de máximo ou mínimo. Portanto, não há pontos extremos na função.
Resposta
A função
é constante nos intervalos
,
e
. Ela não apresenta comportamento de crescimento ou decrescimento nesses intervalos e não possui pontos extremos.
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Determine as concavidades e pontos de inflexão de
.
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(se houver).
Calcule as derivadas