Seja a função f(x)=(x^2-x)/(x^2-x-2) Determine as assíntotas de f(x) (se houver).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre assíntotas da função . A matéria que estamos usando aqui é de cálculo, especificamente sobre assíntotas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores de que tornam o denominador igual a zero (para assíntotas verticais) e analisar o comportamento da função quando vai para o infinito (para assíntotas horizontais ou oblíquas).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função fatorando o numerador e o denominador. Fatorar ajuda a identificar possíveis valores de que anulam o denominador.
Numerador:
Denominador: . Para fatorar isso, procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1.
Então,

Passo 3

Agora que temos a função fatorada:
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto (pois aí seria um ponto de descontinuidade removível).
Vamos encontrar os valores que anulam o denominador:
Nenhum desses valores anula o numerador, então temos duas assíntotas verticais: em e .

Passo 4

Agora, vamos procurar a assíntota horizontal. Para funções racionais, se os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
No nosso caso, o grau do numerador ( ) é 2 e o grau do denominador ( ) também é 2. Então, a assíntota horizontal será:
íí
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntotas Verticais: e
  • Assíntota Horizontal:

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