Seja o ponto da curva , que esta mais próximo da origem. Podemos afirmar que o produto vale:
(Até 4 pontos)
a)
b) 2
c)
d) 4
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar um ponto na curva que está mais perto da origem (que é o ponto ). Para isso, vamos usar conceitos de geometria e um pouco de cálculo, como distância entre pontos e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos. A fórmula para a distância entre e a origem é:
Queremos encontrar o ponto que minimiza essa distância.

Passo 3

Como a curva é , podemos substituir por na fórmula da distância:
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com o quadrado da distância:

Passo 4

Agora, vamos minimizar em relação a . Para isso, tiramos a derivada de em relação a e igualamos a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação :

Passo 6

Com , encontramos usando a equação da curva:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto :

Resposta

A alternativa correta é b) 2.

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Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
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Seja a função . Prove que a função tem limite igual a 1 nos pontos com e que tem limite igual a -1 nos pontos . Prove ainda que não tem limite nos pontos .
Determine o valor dos limites, quando existirem:
e) ;