Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa. Vamos usar métodos como a solução da equação homogênea e a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução dessa equação depende das raízes da equação característica.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo para :

Passo 4

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo da direita é , que não é uma solução da equação homogênea, podemos usar o método da variação dos parâmetros.

Passo 6

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Essas funções são linearmente independentes e formarão a base para encontrar a solução particular.

Passo 7

A fórmula da variação dos parâmetros para a solução particular é:
onde e é o Wronskiano das soluções e .

Passo 8

Calculamos o Wronskiano :

[
W(t) =


= 3\cos^2(3t) + 3\sin^2(3t) = 3(\cos^2(3t) + \sin^2(3t)) = 3
]

Passo 9

Substituindo na fórmula da solução particular:
Simplificando:

Passo 10

Vamos simplificar as integrais. Lembrando que , temos:
Então:

Passo 11

Calculando as integrais:

Passo 12

Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.


Seja o ponto da curva , que esta mais próximo da origem. Podemos afirmar que o produto vale:
(Até 4 pontos)
a)
b) 2
c)
d) 4
e)
Seja a função . Prove que a função tem limite igual a 1 nos pontos com e que tem limite igual a -1 nos pontos . Prove ainda que não tem limite nos pontos .