Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa. Vamos usar métodos como a solução da equação homogênea e a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução dessa equação depende das raízes da equação característica.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo para :
Passo 4
Como as raízes são complexas (), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação completa:
Como o termo da direita é , que não é uma solução da equação homogênea, podemos usar o método da variação dos parâmetros.
Passo 6
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Essas funções são linearmente independentes e formarão a base para encontrar a solução particular.
Passo 7
A fórmula da variação dos parâmetros para a solução particular é: