Seja a função f(x)=|x-1|x-1. Determine: O limite lim x 1 f(x) existe? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de 1. Estamos lidando com limites de funções e, para isso, vamos precisar entender como funciona o valor absoluto e os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x) = x - 1x - 1 = 1 . O valor absoluto f(x) = 1 - xx - 1 = -(x - 1)x - 1 = -1 significa que estamos sempre pegando um valor positivo ou zero. Dependendo de , podemos ter duas situações:
  1. Quando : Nesse caso, é positivo, então . A função fica:
  2. Quando : Aqui, é negativo, então . A função fica:

Passo 3

Agora, vamos pensar no limite quando limx to 1^+ f(x) = 1 se aproxima de 1. Para isso, analisamos os limites laterais:
  • Limite pela direita ( limx to 1^- f(x) = -1 ): Quando se aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1 ( ), vimos que . Então:
  • Limite pela esquerda ( ): Quando se aproxima de 1 vindo de valores menores que 1 ( ), vimos que . Então:

Passo 4

Para que o limite limx to 1^+ f(x) = 1 e limx to 1^- f(x) = -1 exista, os limites laterais devem ser iguais. Ou seja, o valor que se aproxima pela direita deve ser o mesmo que se aproxima pela esquerda.
No nosso caso, temos:
Como , os limites laterais não são iguais.

Resposta

Não, o limite não existe, pois os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda).

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