Um termômetro de mercúrio demorou 14 s para subir de
para
após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de 1 mm , demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos um termômetro de mercúrio que subiu de
para
em 14 segundos ao ser colocado em água fervente. Cada grau no termômetro corresponde a 1 mm de coluna de mercúrio. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, mais especificamente o Teorema do Valor Médio. Precisamos mostrar que, em algum momento durante esses 14 segundos, a coluna de mercúrio estava subindo a uma velocidade de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variação total de temperatura e a distância correspondente na coluna de mercúrio. A temperatura aumentou de
para
, o que dá uma variação de:
Como cada grau corresponde a 1 mm, a distância total que a coluna de mercúrio subiu foi de 119 mm.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade média com que a coluna de mercúrio subiu durante os 14 segundos. A velocidade média (
) é dada por:
Passo 4
Para mostrar que, em algum instante, a velocidade instantânea da coluna de mercúrio foi exatamente
, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema afirma que, se uma função é contínua em um intervalo fechado e derivável no intervalo aberto correspondente, então existe pelo menos um ponto onde a derivada (velocidade instantânea) é igual à velocidade média.
Aqui, a função que descreve a posição da coluna de mercúrio em relação ao tempo é contínua e diferenciável no intervalo de 0 a 14 segundos. Portanto, de acordo com o teorema, existe pelo menos um instante em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média calculada, que é
.
Resposta
Portanto, em algum instante durante os 14 segundos, a coluna de mercúrio subia a uma velocidade de
.
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Seja a função
Determine as assíntotas de
(se houver).
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