Seja a função
f(x)=4-xx^2-2 x-8,
determine os seguinte limites:
lim x 4^+ f(x) e lim x 4^- f(x)

Passo 1

Beleza, temos uma função e queremos descobrir quais são os limites dessa função quando se aproxima de 4 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Vamos usar o conteúdo de limites e análise de comportamento de funções para resolver isso. Precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para simplificar a expressão. O denominador é f(x) = 4 - x(x - 4)(x + 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e +2.
Então, .
Agora, a função fica:

Passo 3

Observamos que o numerador f(x) = -(x - 4)(x - 4)(x + 2) pode ser reescrito como f(x) = -1x + 2 . Então:
Aqui, podemos simplificar no numerador e no denominador:
Mas atenção! Essa simplificação é válida para , já que em o denominador original é zero.

Passo 4

Agora, queremos calcular os limites quando limx to 4 -1x + 2 se aproxima de 4 pela direita e pela esquerda.
Vamos analisar e .
Substituindo simplificado:

Passo 5

Calculando limx to 4 -1x + 2 = -16 :
Quando se aproxima de 4, se aproxima de 6. Portanto:

Resposta

Ambos os limites são iguais a .

Exercícios relacionados