Seja a função
. Usando a definição, calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais de uma função
no ponto
. O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas parciais usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada parcial em cada direção (
e
) no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é definida como:
E de maneira similar para
:
Vamos aplicar isso para
.
Passo 3
Vamos começar calculando
.
Usando a definição:
Agora, vamos calcular
. Olhando para a definição da função:
Para
:
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Usando a definição:
Vamos calcular
. Novamente, usando a definição da função:
Agora, substituindo na expressão da derivada:
Passo 5
Vamos avaliar o limite:
À medida que
se aproxima de 0,
cresce sem limites, ou seja, o limite é infinito. Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
no ponto
não existe, ou é infinita.
Resposta
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Sejam
e
. Calcule
usando a Regra da Cadeia.