Seja a função f(x, y)=ll3 y2 x^4+3 y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0). Usando a definição, calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais de uma função no ponto . O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas parciais usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada parcial em cada direção ( e ) no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de uma derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(a, b) = limh to 0 f(a + h, b) - f(a, b)h em relação a partial fpartial y(a, b) = limk to 0 f(a, b + k) - f(a, b)k no ponto é definida como:
E de maneira similar para :
Vamos aplicar isso para .

Passo 3

Vamos começar calculando partial fpartial x(0, 0) = limh to 0 f(0 + h, 0) - f(0, 0)h = limh to 0 f(h, 0) - 0h .
Usando a definição:
f(x, y) = 3y2x^4 + 3y^2 quando (x, y) neq (0, 0)
Agora, vamos calcular f(h, 0) = 3 times 02h^4 + 3 times 0^2 = 0 . Olhando para a definição da função:
partial fpartial x(0, 0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0 = 0
Para :
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial fpartial y(0, 0) = limk to 0 f(0, 0 + k) - f(0, 0)k = limk to 0 f(0, k) - 0k .
Usando a definição:
f(0, k) = 3k2 times 0^4 + 3k^2 = 3k3k^2 = 1k
Vamos calcular partial fpartial y(0, 0) = limk to 0 1k - 0k = limk to 0 1k^2 . Novamente, usando a definição da função:
Agora, substituindo na expressão da derivada:

Passo 5

Vamos avaliar o limite:
limk to 0 1k^2
À medida que se aproxima de 0, cresce sem limites, ou seja, o limite é infinito. Isso significa que a derivada parcial de em relação a no ponto não existe, ou é infinita.

Resposta

partial fpartial x(0, 0) = 0 e partial fpartial y(0, 0) não existe (é infinita) ãé

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