Seja a função
. Determine as curvas de nível
de
e desenhe-as para alguns valores de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
. O que precisamos fazer é encontrar as curvas de nível dessa função, ou seja, determinar as equações que satisfazem
para diferentes valores de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre equações de curvas como elipses e círculos.
Passo 2
Vamos começar definindo o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Matemáticamente, isso fica representado por:
No nosso caso, isso significa:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
que define cada curva de nível. Primeiro, isolamos a raiz quadrada:
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
A equação
se assemelha à equação geral de uma elipse, que é:
Para ajustar nossa equação a essa forma, podemos dividir ambos os lados por
:
Assim, vemos que as curvas de nível são elipses com semi-eixos:
Passo 5
Vamos escolher alguns valores de
para desenhar as curvas de nível:
- Para
:
Esta é uma elipse com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
.
- Para
:
Esta é uma elipse mais pequena, com
e
.
- Para
:
Aqui, a elipse é maior, com
e
.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses dadas por:
Para diferentes valores de
, as elipses têm diferentes tamanhos, como ilustrado para
,
e
.
Exercícios relacionados
Escreva
no sistema de base 12 .
Converta os números abaixo para as bases de sistemas binários e decimal:
b)
b)
Efetue as somas:
c) , sendo
e
c)
Converta os números abaixo para as bases de sistemas binários e decimal:
c)
c)