Seja a função f(x, y) = 2 - raiz(x^2 + 3y^2). Determine as curvas de nível k de f e desenhe-as para alguns valores de k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, . O que precisamos fazer é encontrar as curvas de nível dessa função, ou seja, determinar as equações que satisfazem para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre equações de curvas como elipses e círculos.

Passo 2

Vamos começar definindo o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Matemáticamente, isso fica representado por:
No nosso caso, isso significa:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e que define cada curva de nível. Primeiro, isolamos a raiz quadrada:
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

A equação se assemelha à equação geral de uma elipse, que é:
Para ajustar nossa equação a essa forma, podemos dividir ambos os lados por :
Assim, vemos que as curvas de nível são elipses com semi-eixos:

Passo 5

Vamos escolher alguns valores de para desenhar as curvas de nível:
  1. Para :
Esta é uma elipse com semi-eixo maior e semi-eixo menor .
  1. Para :
Esta é uma elipse mais pequena, com e .
  1. Para :
Aqui, a elipse é maior, com e .

Resposta

As curvas de nível da função são elipses dadas por:
Para diferentes valores de , as elipses têm diferentes tamanhos, como ilustrado para , e .

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