Seja a função
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, no ponto
. Isso envolve calcular como a função muda quando a gente varia apenas o
, mantendo o
fixo. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
nos mostra a taxa de variação de
quando mudamos
e mantemos
constante. Matematicamente, isso significa que tratamos
como uma constante ao derivar em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
para a função dada. A função é:
Vamos derivar cada termo em relação a
:
- Para o termo
, é uma constante, então a derivada é . - Para o termo
, a derivada é .
Então, a derivada parcial fica:
Passo 4
Agora que temos a expressão da derivada parcial, vamos substituir os valores de
e
pelo ponto dado, que é
. Mas como estamos derivando em relação a
, na verdade só precisamos substituir o valor de
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é
.
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