Seja a função f(x, y)=2 x y-4 y; partial fpartial y(-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, , no ponto . Isso envolve calcular como a função muda quando a gente varia apenas o , mantendo o fixo. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a nos mostra a taxa de variação de quando mudamos e mantemos constante. Matematicamente, isso significa que tratamos como uma constante ao derivar em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular f(x, y) = 2xy - 4y para a função dada. A função é:
partial fpartial y = 2x - 4
Vamos derivar cada termo em relação a :
  1. Para o termo , é uma constante, então a derivada é .
  2. Para o termo , a derivada é .
Então, a derivada parcial fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão da derivada parcial, vamos substituir os valores de partial fpartial y(-1, 1) = 2(-1) - 4 = -2 - 4 = -6 e pelo ponto dado, que é . Mas como estamos derivando em relação a , na verdade só precisamos substituir o valor de :

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é .

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