Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função
é homogênea. Se for, também precisamos descobrir qual é o grau de homogeneidade dessa função. Homogênea aqui significa que se a gente multiplica as variáveis por um mesmo número, a função todo se multiplica por uma potência desse número. Vamos precisar lembrar como testar isso usando a definição de função homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a definição de função homogênea. Queremos ver se existe um número
tal que, ao substituir
por
e
por
na função, a gente obtenha
. Ou seja, vamos calcular
e ver como ele se relaciona com
.
Passo 3
Vamos substituir
por
e
por
na função:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 4
Observamos que
. Isso significa que a fun�o
ao ser escalada pelas variáveis
e
por um fator
resulta na função original multiplicada por
.
Passo 5
De acordo com a definição, se
, então a função é homogênea de grau
. No nosso caso,
.
Resposta
A função
é homogênea de grau
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função homogênea satisfazendo
para todo
com
. Mostre que
para todo
.
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva: