Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função é homogênea. Se for, também precisamos descobrir qual é o grau de homogeneidade dessa função. Homogênea aqui significa que se a gente multiplica as variáveis por um mesmo número, a função todo se multiplica por uma potência desse número. Vamos precisar lembrar como testar isso usando a definição de função homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a definição de função homogênea. Queremos ver se existe um número tal que, ao substituir por e por na função, a gente obtenha . Ou seja, vamos calcular e ver como ele se relaciona com .

Passo 3

Vamos substituir por e por na função:
Isso pode ser simplificado para:

Passo 4

Observamos que . Isso significa que a funç��o ao ser escalada pelas variáveis e por um fator resulta na função original multiplicada por .

Passo 5

De acordo com a definição, se , então a função é homogênea de grau . No nosso caso, .

Resposta

A função é homogênea de grau .

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