Seja a função f de A = {x in R | x <= -1} em B = {y ∈ R | y ≥ 1} definida f(x) = raiz(x^2 + 2x + 2). Qual é o valor do domínio de f^-1 com imagem 3?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de para , dada por . A questão quer saber qual é o valor no domínio da função inversa que corresponde à imagem 3. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a função inversa de e então determinar o valor de que satisfaz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função inversa . Para isso, começamos substituindo por :
Nosso objetivo é isolar em termos de .

Passo 3

Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
Isso nos dá uma equação quadrática em .

Passo 4

Reorganizamos a equação para deixá-la na forma padrão da equação quadrática:
Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver para .

Passo 5

A fórmula de Bhaskara para uma equação quadrática é:
No nosso caso, os coeficientes são:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Como a função está definida para , escolhemos a solução que resulta em valores menores ou iguais a -1. Portanto, usamos o sinal negativo:
Essa é a expressão para a função inversa :

Passo 8

Agora, queremos encontrar o valor no domínio de que corresponde à imagem 3. Isso significa que precisamos calcular :

Resposta

O valor no domínio de com imagem 3 é .

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