Sejam os conjuntos A = {x ∈ R | x ≥ -2}, B = {x ∈ R | x ≥ -4} e C = {x ∈ R | x ≥ -1} e as funções f de A em B, definida por f(x) = x^2 + 4x, e g de B em C, definida por g(x) = x^2 - 1. Responda: existe (g o f)^-1 ? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos três conjuntos:
E duas funções:
  • definida por
  • definida por
A pergunta é: Existe o inverso da composição ? Para responder isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e o que é necessário para uma função ter inverso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função tem inverso se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (cada elemento no domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
Então, para ter inverso, essa composição precisa ser bijetora.

Passo 3

Vamos analisar a composição . Isso significa que aplicamos primeiro e depois no resultado de .
Então,

Passo 4

Agora, precisamos verificar se é injetora. Uma função é injetora se, para todo e no domínio, implica que .
Vamos ver o comportamento de no conjunto . Como , completando o quadrado:
Isso é uma parábola com vértice em , e para , ela é crescente, o que significa que é injetora em .

Passo 5

Em seguida, analisamos no conjunto , onde . Novamente, essa é uma parábola com vértice em e é crescente para e decrescente para . Porém, como , precisamos ver se isso afeta a injetividade.
Observando, a função não é injetora em , porque para alguns valores de , há valores diferentes que dão o mesmo . Por exemplo, e – aqui não repete, mas em geral, a parábola não é injetora em todo o seu domínio.

Passo 6

Como não é injetora em , a composição também não será injetora. Sem injetividade, a função não pode ser bijetora, o que significa que ela não tem inverso.

Resposta

Não, não existe porque a função não é bijetora.

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