Sejam os conjuntos
e
e as funções f de A em B, definida por
, e
de B em C, definida por
. Responda: existe
? Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos três conjuntos:
E duas funções:
-
definida por -
definida por
A pergunta é: Existe o inverso da composição
? Para responder isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e o que é necessário para uma função ter inverso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função tem inverso se ela for bijetora, ou seja, se for injetora (cada elemento no domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
Então, para
ter inverso, essa composição precisa ser bijetora.
Passo 3
Vamos analisar a composição
. Isso significa que aplicamos
primeiro e depois
no resultado de
.
Então,
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
é injetora. Uma função é injetora se, para todo
e
no domínio,
implica que
.
Vamos ver o comportamento de
no conjunto
. Como
, completando o quadrado:
Isso é uma parábola com vértice em
, e para
, ela é crescente, o que significa que
é injetora em
.
Passo 5
Em seguida, analisamos
no conjunto
, onde
. Novamente, essa é uma parábola com vértice em
e é crescente para
e decrescente para
. Porém, como
, precisamos ver se isso afeta a injetividade.
Observando, a função
não é injetora em
, porque para alguns valores de
, há valores diferentes que dão o mesmo
. Por exemplo,
e
– aqui não repete, mas em geral, a parábola não é injetora em todo o seu domínio.
Passo 6
Como
não é injetora em
, a composição
também não será injetora. Sem injetividade, a função não pode ser bijetora, o que significa que ela não tem inverso.
Resposta
Não,
não existe porque a função
não é bijetora.