Sejam
e
as funções reais definidas por
e
. Obtenha as leis que definem
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções compostas! A gente tem duas funções:
que é definida por partes e
. Nosso objetivo é encontrar as funções compostas
e
. Para isso, vamos precisar entender como compor funções, ou seja, aplicar uma função dentro da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa compor duas funções. A função composta
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica
no resultado de
. Matemáticamente, isso é escrito como:
Da mesma forma,
é:
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos
na função
. Como
é definida por partes, precisamos ver em qual parte
se encaixa.
Passo 4
A função
é dada por:
Observando aqui, parece que houve um erro no enunciado porque as condições se sobrepõem para
. Vamos assumir que a segunda condição seja
para evitar confusão. Assim, temos:
Passo 5
Agora, para
, substituímos
por
:
Precisamos determinar qual parte da definição de
usar. Vamos ver quando
ou
.
Passo 6
Resolvendo
:
Então, para
, usamos
. Para
, usamos
.
Passo 7
Portanto, a função composta
fica:
Vamos simplificar cada parte.
Passo 8
Simplificando a primeira parte:
E a segunda parte:
Passo 9
Então, a função
simplificada é:
Passo 10
Agora, vamos encontrar
. Primeiro, calculamos
com a definição ajustada:
Depois, aplicamos
no resultado de
:
Passo 11
Vamos dividir em casos:
- Para
:
- Para
:
Passo 12
Então, a função
fica:
Resposta
As leis das funções compostas são: