Sejam f e g as funções reais definidas por f(x) = { x^2 - 4x + 3 se x <= 2, 2x - 3 se x > 1 } e g(x) = 2x + 3. Obtenha as leis que definem f(g) e g(f).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções compostas! A gente tem duas funções: que é definida por partes e . Nosso objetivo é encontrar as funções compostas e . Para isso, vamos precisar entender como compor funções, ou seja, aplicar uma função dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa compor duas funções. A função composta significa que a gente aplica a função primeiro e depois aplica no resultado de . Matemáticamente, isso é escrito como:
Da mesma forma, é:

Passo 3

Vamos começar encontrando . Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na função . Como é definida por partes, precisamos ver em qual parte se encaixa.

Passo 4

A função é dada por:
Observando aqui, parece que houve um erro no enunciado porque as condições se sobrepõem para . Vamos assumir que a segunda condição seja para evitar confusão. Assim, temos:

Passo 5

Agora, para , substituímos por :
Precisamos determinar qual parte da definição de usar. Vamos ver quando ou .

Passo 6

Resolvendo :
Então, para , usamos . Para , usamos .

Passo 7

Portanto, a função composta fica:
Vamos simplificar cada parte.

Passo 8

Simplificando a primeira parte:
E a segunda parte:

Passo 9

Então, a função simplificada é:

Passo 10

Agora, vamos encontrar . Primeiro, calculamos com a definição ajustada:
Depois, aplicamos no resultado de :

Passo 11

Vamos dividir em casos:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 12

Então, a função fica:

Resposta

As leis das funções compostas são:

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