Seja f(x) função 2 pi-periódica dada por f(x)=|x| se x in(-pi, pi).
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por Sf(x)=pi2-4pi sumn=1^infty 1(2 n-1)^2 cos (2 n-1) x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida no intervalo e que se repete de forma periódica com período . O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos básicos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de funções trigonométricas (seno e cosseno).

Passo 2

Para encontrar a série de Fourier de , começamos identificando que a função é par, ou seja, . Isso simplifica os cálculos, pois na série de Fourier de funções pares, os coeficientes dos senos são zero. Assim, a série será composta apenas de termos de cosseno.

Passo 3

A fórmula geral da série de Fourier para uma função par é:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx)
Onde os coeficientes a0 = 1π integral-π^π f(x) , dx e an = 1π integral-π^π f(x) cos(nx) , dx são dados por:

Passo 4

Vamos calcular a0 = 1π integral-π^π |x| , dx :
a0 = 2π integral0^π x , dx = 2π [ x^22 ]0^π = 2π cdot π^22 = π
Como a função é par, podemos simplificar a integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular an = 1π integral-π^π |x| cos(nx) , dx = 2π integral0^π x cos(nx) , dx :
integral x cos(nx) , dx = x cdot sin(nx)n - integral sin(nx)n , dx = x sin(nx)n + cos(nx)n^2
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja [ π sin(nπ)n + cos(nπ)n^2 ] - [ 0 + 1n^2 ] = cos(nπ) - 1n^2 e an = 2π cdot (-1)^n - 1n^2 . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Avaliando de a :
Como :

Passo 6

Observamos que para f(x) = a02 + sumk=1^infty a2k-1 cos((2k-1)x) par, f(x) = π2 - 4π sumk=1^infty 1(2k-1)^2 cos((2k-1)x) , e para ímpar, . Portanto, somente os termos com ímpar contribuem para a série. Vamos reescrever como , onde é um número inteiro positivo.
Assim, a série de Fourier fica:
Substituindo e :

Resposta

A série de Fourier da função Sf(x) = pi2 - 4pi sumn=1^infty 1(2n-1)^2 cos((2n-1)x) é dada por:

Exercícios relacionados