Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
e que se repete de forma periódica com período
. O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos básicos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de funções trigonométricas (seno e cosseno).
Passo 2
Para encontrar a série de Fourier de
, começamos identificando que a função é par, ou seja,
. Isso simplifica os cálculos, pois na série de Fourier de funções pares, os coeficientes dos senos são zero. Assim, a série será composta apenas de termos de cosseno.
Passo 3
A fórmula geral da série de Fourier para uma função par é:
Onde os coeficientes
e
são dados por:
Passo 4
Vamos calcular
:
Como a função
é par, podemos simplificar a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Avaliando de
a
:
Como
:
Passo 6
Observamos que para
par,
, e para
ímpar,
. Portanto, somente os termos com
ímpar contribuem para a série. Vamos reescrever
como
, onde
é um número inteiro positivo.
Assim, a série de Fourier fica:
Substituindo
e
:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por: