Seja a série de Fourier da função
periódica
para
. Mostre que
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com séries de Fourier da função
, que é periódica com período
no intervalo
. O objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier e como podemos usar os coeficientes dessa série para chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela serve para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para uma função par como
, a série de Fourier só terá termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para
é:
Onde
e
são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Como
é uma função par, podemos simplificar a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Substituindo
:
Novamente, como
e
são funções pares, podemos simplificar:
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos integração por partes duas vezes. Vamos deixar esse cálculo de lado (pois é um pouco longo) e usar um resultado conhecido:
Então, a série de Fourier fica:
Passo 6
Agora, para encontrar a soma
, vamos avaliar a série de Fourier em um ponto específico, geralmente
:
Simplificando:
Resolvendo para a soma:
Passo 7
Sabemos que a soma das séries alternadas pode estar relacionada com a soma das séries não alternadas. Para encontrar
, usamos técnicas avançadas de séries de Fourier e identidade de Parseval, que nos dá:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
b)
b)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , onde
a)