Seja a série de Fourier da função periódica para . Mostre que

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com séries de Fourier da função , que é periódica com período no intervalo . O objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como funciona a série de Fourier e como podemos usar os coeficientes dessa série para chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela serve para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para uma função par como , a série de Fourier só terá termos de cosseno. A forma geral da série de Fourier para é:
Onde e são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . Ele é dado por:
Substituindo :
Como é uma função par, podemos simplificar a integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Substituindo :
Novamente, como e são funções pares, podemos simplificar:

Passo 5

Para resolver a integral , usamos integração por partes duas vezes. Vamos deixar esse cálculo de lado (pois é um pouco longo) e usar um resultado conhecido:
Então, a série de Fourier fica:

Passo 6

Agora, para encontrar a soma , vamos avaliar a série de Fourier em um ponto específico, geralmente :
Simplificando:
Resolvendo para a soma:

Passo 7

Sabemos que a soma das séries alternadas pode estar relacionada com a soma das séries não alternadas. Para encontrar , usamos técnicas avançadas de séries de Fourier e identidade de Parseval, que nos dá:

Resposta

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Seja função -periódica dada por se .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
Se tem série de Fourier dada por quais os valores de:
b)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , onde