Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
lim n infty sumk=1^n 1raizn^2+k^2=ln (1+raiz2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite:
lim n infty sumk=1^n 1raizn^2+k^2 = ln (1+raiz2)
Esse problema está ligado ao cálculo de limites de somas, e para resolvê-lo, vamos usar conceitos de séries numéricas e integrais, especialmente o método de Riemann. Vamos precisar entender como transformar essa soma em uma integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da soma:
1raizn^2+k^2
Podemos fatorar n^2 do denominador para simplificar:
1raizn^2+k^2 = 1n raiz1 + (kn)^2
Então, a soma original fica:
sumk=1^n 1raizn^2+k^2 = 1n sumk=1^n 1raiz1 + (kn)^2

Passo 3

Agora, vamos perceber que quando n cresce muito, kn se torna uma variável contínua que varia de 0 a 1. Isso nos permite aproximar a soma por uma integral definida.
O que fizemos foi transformar a soma em uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais usando somas de partes pequenas. A fórmula geral para uma soma de Riemann é:
sumk=1^n f(kn) cdot 1n approx integral0^1 f(x) , dx
Comparando com o que temos:
1n sumk=1^n 1raiz1 + (kn)^2 approx integral0^1 1raiz1 + x^2 , dx

Passo 4

Então, nosso limite original se transforma na integral:
lim n infty sumk=1^n 1raizn^2+k^2 approx integral0^1 1raiz1 + x^2 , dx
Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral 1raiz1 + x^2 , dx = ln (x + raiz1 + x^2) + C

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
integral0^1 1raiz1 + x^2 , dx = [ ln (x + raiz1 + x^2) ]0^1
Calculando em x = 1:
ln (1 + raiz1 + 1^2) = ln (1 + raiz2)
E em x = 0:
ln (0 + raiz1 + 0^2) = ln (1) = 0

Resposta

Portanto, o limite é:
ln (1 + raiz2)

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