Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite:
Esse problema está ligado ao cálculo de limites de somas, e para resolvê-lo, vamos usar conceitos de séries numéricas e integrais, especialmente o método de Riemann. Vamos precisar entender como transformar essa soma em uma integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da soma:
Podemos fatorar
do denominador para simplificar:
Então, a soma original fica:
Passo 3
Agora, vamos perceber que quando
cresce muito,
se torna uma variável contínua que varia de 0 a 1. Isso nos permite aproximar a soma por uma integral definida.
O que fizemos foi transformar a soma em uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais usando somas de partes pequenas. A fórmula geral para uma soma de Riemann é:
Comparando com o que temos:
Passo 4
Então, nosso limite original se transforma na integral:
Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que:
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Calculando em x = 1:
E em x = 0:
Resposta
Portanto, o limite é:
Exercícios relacionados
Seja
uma funçã̃o positiva crescente definida para
. Usando considerações geométricas, mostre que
Tome
e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja,
. (Vale também a fórmula de Stirling:
.)
Sejam
e
. Se
para todo
então
.
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
. (Mostre que, para algum
e alguma constante
para todo
suficientemente grande.)
Mostre que se
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.