Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite:
Esse problema está ligado ao cálculo de limites de somas, e para resolvê-lo, vamos usar conceitos de séries numéricas e integrais, especialmente o método de Riemann. Vamos precisar entender como transformar essa soma em uma integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da soma:
Podemos fatorar do denominador para simplificar:
Então, a soma original fica:

Passo 3

Agora, vamos perceber que quando cresce muito, se torna uma variável contínua que varia de 0 a 1. Isso nos permite aproximar a soma por uma integral definida.
O que fizemos foi transformar a soma em uma soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar integrais usando somas de partes pequenas. A fórmula geral para uma soma de Riemann é:
Comparando com o que temos:

Passo 4

Então, nosso limite original se transforma na integral:
Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que:

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Calculando em x = 1:
E em x = 0:

Resposta

Portanto, o limite é:

Exercícios relacionados

Seja uma funçã̃o positiva crescente definida para . Usando considerações geométricas, mostre que
Tome e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja, . (Vale também a fórmula de Stirling: .)
Sejam e . Se para todo então .
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então . (Mostre que, para algum e alguma constante para todo suficientemente grande.)
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.