Seja f: R -> R a função quadrática dada por f(x) = a x^2 + b x + c, onde a != 0. Sabendo-se que x1 = -1 e x2 = 5 são as raízes de f, e que f(1) = -8, faça os itens abaixo:
© Escreva f na forma canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções quadráticas! A gente tem uma função do tipo , onde a não é zero. Sabemos que as raízes dessa função são e , e que quando x = 1, . Nosso objetivo aqui é escrever a função f na forma canônica, que é uma forma que facilita entender o gráfico da parábola, mostrando o vértice da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem . Sabemos que e são essas raízes. A forma fatorada da função quadrática pode ser escrita usando essas raízes:
Substituindo as raízes:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de a. Para isso, usamos a informação que temos: . Vamos substituir x = 1 na expressão que encontramos:
Simplificando dentro dos parênteses:
Dividindo ambos os lados por para encontrar a:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora que temos , podemos expandir a função para a forma padrão se quisermos, mas nosso objetivo é chegar na forma canônica. A forma canônica de uma função quadrática é:
onde é o vértice da parábola.
Para encontrar h e k, usamos a fórmula do vértice:
Agora, vamos encontrar k substituindo x = 2 na função original. Primeiro, precisamos da função expandida ou usar a forma fatorada:
Usando a forma fatorada e :
Então, .

Resposta

Portanto, a função f na forma canônica é:

Exercícios relacionados