Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
© Escreva
na forma canônica.
© Escreva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções quadráticas! A gente tem uma função do tipo
, onde
não é zero. Sabemos que as raízes dessa função são
e
, e que quando
,
. Nosso objetivo aqui é escrever a função
na forma canônica, que é uma forma que facilita entender o gráfico da parábola, mostrando o vértice da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as raízes de uma função quadrática são os valores de
que fazem
. Sabemos que
e
são essas raízes. A forma fatorada da função quadrática pode ser escrita usando essas raízes:
Substituindo as raízes:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, usamos a informação que temos:
. Vamos substituir
na expressão que encontramos:
Simplificando dentro dos parênteses:
Dividindo ambos os lados por
para encontrar
:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora que temos
, podemos expandir a função para a forma padrão
se quisermos, mas nosso objetivo é chegar na forma canônica. A forma canônica de uma função quadrática é:
onde
é o vértice da parábola.
Para encontrar
e
, usamos a fórmula do vértice:
Agora, vamos encontrar
substituindo
na função original. Primeiro, precisamos da função expandida ou usar a forma fatorada:
Usando a forma fatorada e
:
Então,
.
Resposta
Portanto, a função
na forma canônica é:
Exercícios relacionados
Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(d) Determine o conjunto imagem da função .
(d) Determine o conjunto imagem da função
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b)
(b)
Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI: