Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
© Escreva na forma canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções quadráticas! A gente tem uma função do tipo , onde não é zero. Sabemos que as raízes dessa função são e , e que quando , . Nosso objetivo aqui é escrever a função na forma canônica, que é uma forma que facilita entender o gráfico da parábola, mostrando o vértice da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as raízes de uma função quadrática são os valores de que fazem . Sabemos que e são essas raízes. A forma fatorada da função quadrática pode ser escrita usando essas raízes:
Substituindo as raízes:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, usamos a informação que temos: . Vamos substituir na expressão que encontramos:
Simplificando dentro dos parênteses:
Dividindo ambos os lados por para encontrar :
Então, a função fica:

Passo 4

Agora que temos , podemos expandir a função para a forma padrão se quisermos, mas nosso objetivo é chegar na forma canônica. A forma canônica de uma função quadrática é:
onde é o vértice da parábola.
Para encontrar e , usamos a fórmula do vértice:
Agora, vamos encontrar substituindo na função original. Primeiro, precisamos da função expandida ou usar a forma fatorada:
Usando a forma fatorada e :
Então, .

Resposta

Portanto, a função na forma canônica é:

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Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
(d) Determine o conjunto imagem da função .
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b)
Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI: