Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
é única ou não. Para isso, vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, mais especificamente o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que o Teorema de Picard-Lindelöf nos diz. Ele afirma que se a função
for contínua em uma região ao redor do ponto inicial
e satisfizer uma condição de Lipschitz em
, então existe uma única solução para o PVI.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
. Essa função é um polinômio em
e
, logo é contínua em todo o domínio
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a condição de Lipschitz em
. Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Para que a função seja de Lipschitz em
, essa derivada deve ser limitada em uma região ao redor do ponto inicial. Como estamos considerando um intervalo próximo a
,
é contínua e, portanto, limitada nessa região.
Passo 5
Como a função
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
próximo a
, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, podemos concluir que existe uma única solução para o PVI dado.
Resposta
A solução do PVI é única.