Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
é única ou não. Para isso, vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, mais especificamente o Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que o Teorema de Picard-Lindelöf nos diz. Ele afirma que se a função for contínua em uma região ao redor do ponto inicial e satisfizer uma condição de Lipschitz em , então existe uma única solução para o PVI.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de . Essa função é um polinômio em e , logo é contínua em todo o domínio .

Passo 4

Agora, precisamos verificar a condição de Lipschitz em . Calculamos a derivada parcial de em relação a :
Para que a função seja de Lipschitz em , essa derivada deve ser limitada em uma região ao redor do ponto inicial. Como estamos considerando um intervalo próximo a , é contínua e, portanto, limitada nessa região.

Passo 5

Como a função é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em próximo a , pelo Teorema de Picard-Lindelöf, podemos concluir que existe uma única solução para o PVI dado.

Resposta

A solução do PVI é única.

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Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
(d) Determine o conjunto imagem da função .
Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
(b) Calcule .
Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
© Escreva na forma canônica.
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b)