Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI: dy/dx = 3x - raiz(3)y - 1; y(2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema inicial de valor (PVI) que é tipo uma equação diferencial com uma condição inicial. O enunciado que você me mandou é:
O nosso objetivo aqui é verificar se essa PVI tem uma solução única ou não. Para isso, vamos precisar falar sobre teoremas de existência e unicidade em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para garantir que uma PVI tenha uma solução única, a função que está na equação diferencial precisa satisfazer duas condições importantes:
  1. Continuidade: A função precisa ser contínua nas variáveis e .
  2. Condição de Lipschitz: A função deve satisfazer a condição de Lipschitz em relação a em uma região ao redor do ponto inicial.
Essas condições fazem parte do Teorema de Picard-Lindelöf, que nos garante que, se forem atendidas, existe uma única solução para o PVI na vizinhança do ponto inicial.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função :
Essa função é um polinômio em e , e polinômios são contínuos em todo lugar. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos conferir a condição de Lipschitz em relação a . Para isso, calculamos a derivada parcial de em relação a :
A derivada parcial é constante e, portanto, limitada. Isso significa que a função satisfaz a condição de Lipschitz em , já que existe uma constante tal que:

Passo 5

Como a função é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em , o Teorema de Picard-Lindelöf nos garante que existe uma solução única para o PVI na vizinhança do ponto inicial .

Resposta

A solução do PVI é única.

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