Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema inicial de valor (PVI) que é tipo uma equação diferencial com uma condição inicial. O enunciado que você me mandou é:
O nosso objetivo aqui é verificar se essa PVI tem uma solução única ou não. Para isso, vamos precisar falar sobre teoremas de existência e unicidade em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para garantir que uma PVI tenha uma solução única, a função que está na equação diferencial precisa satisfazer duas condições importantes:
- Continuidade: A função
precisa ser contínua nas variáveis e . - Condição de Lipschitz: A função
deve satisfazer a condição de Lipschitz em relação a em uma região ao redor do ponto inicial.
Essas condições fazem parte do Teorema de Picard-Lindelöf, que nos garante que, se forem atendidas, existe uma única solução para o PVI na vizinhança do ponto inicial.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
:
Essa função é um polinômio em
e
, e polinômios são contínuos em todo lugar. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos conferir a condição de Lipschitz em relação a
. Para isso, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada parcial é constante e, portanto, limitada. Isso significa que a função
satisfaz a condição de Lipschitz em
, já que existe uma constante
tal que:
Passo 5
Como a função
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
, o Teorema de Picard-Lindelöf nos garante que existe uma solução única para o PVI na vizinhança do ponto inicial
.
Resposta
A solução do PVI é única.
Exercícios relacionados
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b)
(b)
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
© Escreva na forma canônica.
© Escreva
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(e) Verifique se apresenta ponto de máximo ou mínimo e calcule as coordenadas do ponto extremo de
.
(e) Verifique se
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(d)
(d)