Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para testar se a série
converge ou diverge. Vamos usar o Teste das Séries Alternadas para isso. Se esse teste não der resultado, a gente tenta o Teste da Divergência. Então, vamos precisar entender esses testes e aplicá-los direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teste das Séries Alternadas. Esse teste é usado para séries que têm termos positivos e negativos que alternam, como essa que temos aqui. Para que a série convirja pelo teste das séries alternadas, dois critérios precisam ser atendidos:
- Os termos em módulo devem estar diminuindo: ou seja, cada termo seguinte deve ser menor que o anterior.
- O limite dos termos em módulo deve ser zero: quando
cresce para o infinito, o termo deve se aproximar de zero.
Vamos verificar esses dois pontos.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se os termos estão diminuindo. Olha só: o termo geral da série é
. Conforme
aumenta, o denominador
também aumenta, o que faz com que o valor do termo
diminua. Então, os termos estão de fato diminuindo.
Passo 4
Agora, vamos ver o limite dos termos quando
tende ao infinito:
Isso porque, conforme
fica bem grande,
também fica bem grande, e
dividido por um número que cresce sem limite vai a zero. Então, o limite é zero.
Passo 5
Já que os dois critérios do Teste das Séries Alternadas foram atendidos — os termos estão diminuindo e o limite dos termos é zero — podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste das Séries Alternadas.