Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b) sumn=1^infty (-1)^n-12 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para testar se a série converge ou diverge. Vamos usar o Teste das Séries Alternadas para isso. Se esse teste não der resultado, a gente tenta o Teste da Divergência. Então, vamos precisar entender esses testes e aplicá-los direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teste das Séries Alternadas. Esse teste é usado para séries que têm termos positivos e negativos que alternam, como essa que temos aqui. Para que a série convirja pelo teste das séries alternadas, dois critérios precisam ser atendidos:
  1. Os termos em módulo devem estar diminuindo: ou seja, cada termo seguinte deve ser menor que o anterior.
  2. O limite dos termos em módulo deve ser zero: quando cresce para o infinito, o termo deve se aproximar de zero.
Vamos verificar esses dois pontos.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se os termos estão diminuindo. Olha só: o termo geral da série é . Conforme aumenta, o denominador também aumenta, o que faz com que o valor do termo diminua. Então, os termos estão de fato diminuindo.

Passo 4

Agora, vamos ver o limite dos termos quando limn to infty 12n+1 = 0 tende ao infinito:
Isso porque, conforme fica bem grande, também fica bem grande, e dividido por um número que cresce sem limite vai a zero. Então, o limite é zero.

Passo 5

Já que os dois critérios do Teste das Séries Alternadas foram atendidos — os termos estão diminuindo e o limite dos termos é zero — podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste das Séries Alternadas.

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