Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
© sumn=1^infty(-1)^n 3 n-12 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para testarmos a convergência ou divergência da série alternada . Vamos usar primeiro o teste das séries alternadas. Se não der certo, tentamos o teste da divergência. Para isso, precisamos entender o que cada teste faz e quais condições eles exigem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente, como positivo, negativo, positivo, e assim por diante. A série que temos é alternada porque temos , que alterna os sinais dos termos.

Passo 3

O teste das séries alternadas diz que, para uma série alternada , ela converge se duas condições forem atendidas:
  1. A sequência é decrescente, ou seja, para todo .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas duas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar an = 3n - 12n + 1 na nossa série:
Precisamos verificar se é decrescente.

Passo 5

Para ver se an+1 = 3(n+1) - 12(n+1) + 1 = 3n + 3 - 12n + 2 + 1 = 3n + 22n + 3 é decrescente, vamos comparar 3n + 22n + 3 <= 3n - 12n + 1 com :
Vamos verificar se :
Fazendo uma análise rápida, observamos que, para valores grandes de , o numerador e denominador de ambas as frações aumentam, mas a relação entre eles não garante que . Isso sugere que não é necessariamente decrescente.

Passo 6

Como a primeira condição do teste das séries alternadas não é satisfeita (a sequência não é decrescente), não podemos concluir a convergência usando esse teste. Então, vamos tentar o teste da divergência.

Passo 7

O teste da divergência afirma que se limn to infty 3n - 12n + 1 = limn to infty 3 - 1n2 + 1n = 32 , então a série diverge. Vamos calcular o limite de :
Esse limite é , que não é zero.

Resposta

Como , pelo teste da divergência, a série diverge.

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