Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para testarmos a convergência ou divergência da série alternada
. Vamos usar primeiro o teste das séries alternadas. Se não der certo, tentamos o teste da divergência. Para isso, precisamos entender o que cada teste faz e quais condições eles exigem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente, como positivo, negativo, positivo, e assim por diante. A série que temos é alternada porque temos
, que alterna os sinais dos termos.
Passo 3
O teste das séries alternadas diz que, para uma série alternada
, ela converge se duas condições forem atendidas:
- A sequência
é decrescente, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas duas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar
na nossa série:
Precisamos verificar se
é decrescente.
Passo 5
Para ver se
é decrescente, vamos comparar
com
:
Vamos verificar se
:
Fazendo uma análise rápida, observamos que, para valores grandes de
, o numerador e denominador de ambas as frações aumentam, mas a relação entre eles não garante que
. Isso sugere que
não é necessariamente decrescente.
Passo 6
Como a primeira condição do teste das séries alternadas não é satisfeita (a sequência
não é decrescente), não podemos concluir a convergência usando esse teste. Então, vamos tentar o teste da divergência.
Passo 7
O teste da divergência afirma que se
, então a série
diverge. Vamos calcular o limite de
:
Esse limite é
, que não é zero.
Resposta
Como
, pelo teste da divergência, a série
diverge.
Exercícios relacionados
Teste a série quanto a convergência ou divergência
(b)
(b)
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(g) A função vista como função
(g) A função
é uma bijeção. Calcule a expressão de sua inversa
.
Teste a série quanto a convergência ou divergência
(h)
(h)
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(e)
(e)