Seja f uma função real tal que a reta tangente a seu gráfico no ponto de abscissa -1 é y = 4x + 2. Se g(x) = 1/f(x), determine g'(-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função real e pede para determinar a derivada de outra função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, especialmente a regra da derivada de uma função composta e a derivada da função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa é . A reta tangente em um ponto toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto.

Passo 3

Isso nos dá duas informações importantes:
  1. O valor da função em é igual ao valor de na reta tangente quando .
  2. A derivada de em , que representa a inclinação da reta tangente, é igual ao coeficiente de na equação da reta tangente.

Passo 4

Vamos calcular o valor de . Substituindo na equação da reta tangente:

Passo 5

Agora, vamos encontrar , que é a inclinação da reta tangente. Observando a equação , o coeficiente de é 4, então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos usar a definição da função para encontrar a derivada .

Passo 7

Para derivar , usamos a regra da derivada de uma função composta. A derivada de é:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão da derivada:

Resposta

Exercícios relacionados