Seja
uma função real tal que a reta tangente a seu gráfico no ponto de abscissa -1 é
. Se
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função real
e pede para determinar a derivada de outra função
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, especialmente a regra da derivada de uma função composta e a derivada da função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
é
. A reta tangente em um ponto toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto.
Passo 3
Isso nos dá duas informações importantes:
- O valor da função
em é igual ao valor de na reta tangente quando . - A derivada de
em , que representa a inclinação da reta tangente, é igual ao coeficiente de na equação da reta tangente.
Passo 4
Vamos calcular o valor de
. Substituindo
na equação da reta tangente:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que é a inclinação da reta tangente. Observando a equação
, o coeficiente de
é 4, então:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos usar a definição da função
para encontrar a derivada
.
Passo 7
Para derivar
, usamos a regra da derivada de uma função composta. A derivada de
é:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão da derivada:
Resposta
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Uma caixa de 20 Kg está apoiada numa superfície plana horizontal e é puxada para trás por uma força paralela ao plano horizontal dada por
. Considerando que inicialmente a caixa estava na origem do movimento e foi puxada com velocidade inicial de
, determine as equações horárias da velocidade e da posição da caixa.
Determine
usando a definição de derivada em cada item a seguir.
Calcular as integrais :
Determine quais afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas, justificando.
.