Seja f: R -> R uma função que satisfaz a condição 2 f(5 x) = 3 f(2 x), x pertence a R e f(25) = 27, calcule f(4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o valor de de uma função que satisfaz a condição para todo real, e também sabemos que . Vamos usar um pouco de álgebra e propriedades de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a condição dada: . Nosso objetivo é isolar ou . Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Isso nos mostra como se comporta quando o argumento é multiplicado por 5 ou por 2.

Passo 3

Agora, sabemos que . Vamos escolher um valor de que nos ajude a conectar esse valor conhecido com outro ponto da função. Se colocarmos , teremos:
Usando a equação que encontramos:
Então:

Passo 4

Vamos resolver para . Multiplicando ambos os lados por :
Agora sabemos que .

Passo 5

Vamos usar novamente a condição original para encontrar . Escolhemos :
Substituindo :

Passo 6

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

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