Uma xícara de café quente irá, com o tempo, esfriar até a temperatura ambiente. O princípio da física que rege o processo é a Lei do Resfriamento de Newton. Essa situação pode ser traduzida na seguinte equação diferencial
onde é a temperatura do objeto no tempo e é a temperatura ambiente. Assumindo que a temperatura ambiente é de . Depois de 1 min que o café ficou pronto, a temperatura do café é de . O que você pode dizer sobre a taxa de variação da temperatura do café depois de 1 min ? Use a reta tangente no ponto para fazer uma estimativa da temperatura do café depois de 2 min que ele ficou pronto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de uma xícara de café quente diminui com o tempo até igualar à temperatura ambiente. Esse processo é regido pela Lei do Resfriamento de Newton. A gente tem uma equação diferencial que descreve essa mudança de temperatura:
Aqui, é a temperatura do café no tempo , e é a temperatura ambiente. Sabemos que após 1 minuto, a temperatura do café é . Vamos precisar calcular a taxa de variação da temperatura nesse ponto e usar a reta tangente para estimar a temperatura depois de 2 minutos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a taxa de variação da temperatura no momento minuto. A taxa de variação é dada pela derivada .
Substituindo os valores na equação:
Então, a taxa de variação da temperatura no minuto 1 é -4°C por minuto. Isso significa que, naquele instante, a temperatura do café está diminuindo a uma taxa de 4°C por minuto.

Passo 3

Agora, vamos usar a reta tangente no ponto para estimar a temperatura no minuto 2. A reta tangente pode ser aproximada pela fórmula:
Substituindo os valores que já encontramos:

Resposta

Depois de 2 minutos, a temperatura do café está aproximadamente 68°C.

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