Uma xícara de café quente irá, com o tempo, esfriar até a temperatura ambiente. O princípio da física que rege o processo é a Lei do Resfriamento de Newton. Essa situação pode ser traduzida na seguinte equação diferencial
onde
é a temperatura do objeto no tempo
e
é a temperatura ambiente. Assumindo que a temperatura ambiente é de
. Depois de 1 min que o café ficou pronto, a temperatura do café é de
. O que você pode dizer sobre a taxa de variação da temperatura do café depois de 1 min ? Use a reta tangente no ponto
para fazer uma estimativa da temperatura do café depois de 2 min que ele ficou pronto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de uma xícara de café quente diminui com o tempo até igualar à temperatura ambiente. Esse processo é regido pela Lei do Resfriamento de Newton. A gente tem uma equação diferencial que descreve essa mudança de temperatura:
Aqui,
é a temperatura do café no tempo
, e
é a temperatura ambiente. Sabemos que após 1 minuto, a temperatura do café é
. Vamos precisar calcular a taxa de variação da temperatura nesse ponto e usar a reta tangente para estimar a temperatura depois de 2 minutos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a taxa de variação da temperatura no momento
minuto. A taxa de variação é dada pela derivada
.
Substituindo os valores na equação:
Então, a taxa de variação da temperatura no minuto 1 é -4°C por minuto. Isso significa que, naquele instante, a temperatura do café está diminuindo a uma taxa de 4°C por minuto.
Passo 3
Agora, vamos usar a reta tangente no ponto
para estimar a temperatura no minuto 2. A reta tangente pode ser aproximada pela fórmula:
Substituindo os valores que já encontramos:
Resposta
Depois de 2 minutos, a temperatura do café está aproximadamente 68°C.
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções que satisfazem
. Se
calcule
.
Sejam
conjuntos. Mostre que
Sejam
conjuntos. Mostre que
, então
.
Seja
uma função que satisfaz
e
. Se
, encontre
. Use que
.