Seja g uma função derivável. Verifique que
[tg(g(x))]' = sec^2(g(x)) * g'(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar uma derivada envolvendo funções trigonométricas. Estamos falando sobre cálculo diferencial, mais especificamente sobre como derivar funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar: . Aqui, é uma função que está dentro da tangente, então temos uma função composta.

Passo 3

Agora, para derivar uma função composta como essa, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 4

Vamos aplicar a regra da cadeia à nossa função . Sabemos que a derivada de em relação a é . Aqui, .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Pronto! Mostramos que a derivada de realmente é , conforme o enunciado pediu para verificar.

Resposta

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