Verifique a convergência das seguintes integrais:
z) integral-infty^-1 sen^2 xx^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Nós precisamos verificar se a integral converge ou não. Isso significa que precisamos descobrir se o valor dessa integral chega a um número finito quando estendemos o limite de integração até menos infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Uma integral é imprópria quando um ou ambos os limites de integração são infinitos ou quando a função a ser integrada não está bem definida em algum ponto do intervalo. No nosso caso, o limite inferior é , então temos uma integral imprópria por esse motivo.

Passo 3

Para verificar a convergência dessa integral, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a função que estamos integrando com outra função que sabemos se a integral dela converge ou não. Se conseguirmos encontrar uma função maior que a nossa e cuja integral converge, então a nossa integral também converge.

Passo 4

Vamos simplificar a função . Sabemos que está sempre entre 0 e 1 para qualquer valor de 0 <= sen^2 xx^2 <= 1x^2 . Então, podemos dizer que:
Isso significa que nossa função é menor ou igual a para todos os no intervalo .

Passo 5

Agora, vamos verificar a integral da função comparadora, integral-infty^-1 1x^2 dx :
Sabemos que é uma função decrescente e positiva para . A integral de de a converge e é igual a , que é 1.

Passo 6

Como mostramos que:
E sabemos que 0 <= sen^2 xx^2 <= 1x^2 converge, pelo Teste da Comparação, concluímos que a integral também converge.

Resposta

A integral converge.

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