Verifique a convergência das seguintes integrais:
z)
z)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Nós precisamos verificar se a integral converge ou não. Isso significa que precisamos descobrir se o valor dessa integral chega a um número finito quando estendemos o limite de integração até menos infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Uma integral é imprópria quando um ou ambos os limites de integração são infinitos ou quando a função a ser integrada não está bem definida em algum ponto do intervalo. No nosso caso, o limite inferior é
, então temos uma integral imprópria por esse motivo.
Passo 3
Para verificar a convergência dessa integral, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a função que estamos integrando com outra função que sabemos se a integral dela converge ou não. Se conseguirmos encontrar uma função maior que a nossa e cuja integral converge, então a nossa integral também converge.
Passo 4
Vamos simplificar a função . Sabemos que está sempre entre 0 e 1 para qualquer valor de
. Então, podemos dizer que:
Isso significa que nossa função é menor ou igual a
para todos os
no intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a integral da função comparadora,
:
Sabemos que
é uma função decrescente e positiva para
. A integral de
de
a
converge e é igual a
, que é 1.
Passo 6
Como mostramos que:
E sabemos que
converge, pelo Teste da Comparação, concluímos que a integral também converge.
Resposta
A integral converge.
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i)
i)
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d)
d)
Seja
uma função derivável. Verifique que
Seja
uma função derivável. Verifique que