Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas inversas, especialmente a arctangente. Vamos precisar entender o domínio, a imagem, os assíntotas, interceptos e o comportamento geral da função para esboçar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida para todo número real
, ou seja,
. Aqui,
, então o domínio da nossa função também será todo número real.
Domínio:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
.
Sabemos que a função
tem uma imagem limitada, isto é, seus valores de saída ficam entre
e
. Portanto, para
, a imagem também será:
Imagem:
Passo 4
Vamos encontrar os assíntotas horizontais da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Como vimos, à medida que
tende para
,
também tende para
, e assim
tende para
. Da mesma forma, quando
tende para
,
tende para
.
Portanto, as assíntotas horizontais são:
Assíntotas Horizontais:
Passo 5
Vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo
, ou seja, quando
.
Substituindo
na função:
Portanto, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo
, ou seja, quando
.
Resolvendo
:
Então, a interseção com o eixo
é
.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função:
- Para
, é positivo e a função cresce lentamente, aproximando-se de . - Para
, é negativo e a função decresce, aproximando-se de .
Isso significa que a curva passa pelo ponto
e se aproxima das assíntotas horizontais à medida que
se afasta de 1 para valores maiores ou menores.
Resposta
O gráfico da função
tem domínio em todos os reais, imagem entre
e
, com assíntotas horizontais em
e
. Ele intercepta o eixo
em
e o eixo
em
. A curva passa pelo ponto de interseção e se aproxima das assíntotas conforme
aumenta ou diminui, formando uma típica forma de arco da função arctangente deslocada horizontalmente.