Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas inversas, especialmente a arctangente. Vamos precisar entender o domínio, a imagem, os assíntotas, interceptos e o comportamento geral da função para esboçar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida para todo número real , ou seja, . Aqui, , então o domínio da nossa função também será todo número real.
Domínio:

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de .
Sabemos que a função tem uma imagem limitada, isto é, seus valores de saída ficam entre e . Portanto, para , a imagem também será:
Imagem:

Passo 4

Vamos encontrar os assíntotas horizontais da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
Como vimos, à medida que tende para , também tende para , e assim tende para . Da mesma forma, quando tende para , tende para .
Portanto, as assíntotas horizontais são:
Assíntotas Horizontais:

Passo 5

Vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo , ou seja, quando .
Substituindo na função:
Portanto, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo , ou seja, quando .
Resolvendo :
Então, a interseção com o eixo é .

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Para , é positivo e a função cresce lentamente, aproximando-se de .
  • Para , é negativo e a função decresce, aproximando-se de .
Isso significa que a curva passa pelo ponto e se aproxima das assíntotas horizontais à medida que se afasta de 1 para valores maiores ou menores.

Resposta

O gráfico da função tem domínio em todos os reais, imagem entre e , com assíntotas horizontais em e . Ele intercepta o eixo em e o eixo em . A curva passa pelo ponto de interseção e se aproxima das assíntotas conforme aumenta ou diminui, formando uma típica forma de arco da função arctangente deslocada horizontalmente.

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