Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os conjuntos de matrizes dadas são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores (nesse caso, vetores são representados por matrizes). Vamos precisar somar as matrizes e ver se existe uma combinação não trivial que resulta na matriz zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear das matrizes é uma expressão da forma:
Onde são constantes (escalars) e é a matriz nula (toda com zeros). Se a única solução para essa equação for , então as matrizes são Linearmente Independentes. Caso contrário, elas são Linearmente Dependentes.
Passo 3
Vamos listar as matrizes do conjunto :
Vamos chamar essas matrizes de respectivamente para facilitar.
Passo 4
Agora, montamos a combinação linear:
Substituindo as matrizes:
Passo 5
Vamos somar as matrizes:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo na quarta equação:
Então, se , isso implica que , e .
Resposta
Como a única solução é , as matrizes do conjunto são Linearmente Independentes (L.I.).