Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
E=R^3 S=(3,2,2),(-1,2,1),(0,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e o conjunto . A questão quer que a gente verifique se esses vetores em são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar do conceito de combinação linear e das condições para a independência linear. Basicamente, vamos verificar se existe uma combinação linear não trivial dos vetores que dê o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Se temos vetores c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 em , uma combinação linear deles é dada por:
Onde são escalares. Se a única solução para essa equação for , então os vetores são Linearmente Independentes. Caso contrário, eles são Linearmente Dependentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
c1(3,2,2) + c2(-1,2,1) + c3(0,1,0) = (0,0,0)
Isso dá o seguinte sistema de equações:
3c1 - c2 = 0 2c1 + 2c2 + c3 = 0 2c1 + c2 = 0
Nossa tarefa é resolver esse sistema e ver se a única solução é .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
3c1 - c2 = 0 implies c2 = 3c1
Agora, substituímos 2c1 + (3c1) = 0 implies 5c1 = 0 implies c1 = 0 na terceira equação:
c2 = 3(0) = 0
Então, 2(0) + 2(0) + c3 = 0 implies c3 = 0 . Substituindo de volta para encontrar :
Agora, substituímos e na segunda equação:

Resposta

Como a única solução para o sistema é , os vetores em são Linearmente Independentes (L.I.).

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