Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e o conjunto . A questão quer que a gente verifique se esses vetores em são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar do conceito de combinação linear e das condições para a independência linear. Basicamente, vamos verificar se existe uma combinação linear não trivial dos vetores que dê o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Se temos vetores em , uma combinação linear deles é dada por:
Onde são escalares. Se a única solução para essa equação for , então os vetores são Linearmente Independentes. Caso contrário, eles são Linearmente Dependentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Isso dá o seguinte sistema de equações:
Nossa tarefa é resolver esse sistema e ver se a única solução é .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Então, . Substituindo de volta para encontrar :
Agora, substituímos e na segunda equação:

Resposta

Como a única solução para o sistema é , os vetores em são Linearmente Independentes (L.I.).

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Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
Use a expansão em cofatores para calcular o determinante das matrizes:
Seja um grupo. Mostre que: (b) Se e , então
As matrizes aumentadas a seguir estão em forma escalonada. Em cada caso, encontre a única solução para cada sistema: