Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os conjuntos de polinômios dados são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.) no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é Linearmente Independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então o conjunto é Linearmente Dependente.
Passo 3
Vamos considerar os polinômios do conjunto . Para verificar a independência, vamos montar a seguinte combinação linear igual a zero:
Passo 4
Expandindo essa combinação, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar se existe uma solução onde não são todos zero.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 6
A última equação nos deu uma identidade verdadeira , o que significa que temos infinitas soluções para , além da solução trivial . Por exemplo, se escolhermos , então e .
Isso mostra que existe uma combinação não trivial dos polinômios que resulta no polinômio zero.
Resposta
Os conjuntos de polinômios são Linearmente Dependentes.