Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
E=P2 S=-t^2+t+2,2 t^2+2 t+3,4 t^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os conjuntos de polinômios dados são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.) no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é Linearmente Independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então o conjunto é Linearmente Dependente.

Passo 3

Vamos considerar os polinômios do conjunto x(-t^2 + t + 2) + y(2t^2 + 2t + 3) + z(4t^2 - 1) = 0 . Para verificar a independência, vamos montar a seguinte combinação linear igual a zero:

Passo 4

Expandindo essa combinação, temos:
(-x + 2y + 4z)t^2 + (x + 2y)t + (2x + 3y - z) = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de - x + 2y + 4z = 0 x + 2y = 0 2x + 3y - z = 0 , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar se existe uma solução onde x + 2y = 0 implies x = -2y não são todos zero.
Primeiro, da segunda equação:
- (-2y) + 2y + 4z = 0 implies 2y + 2y + 4z = 0 implies 4y + 4z = 0 implies y + z = 0 implies z = -y
Substituindo 2(-2y) + 3y - (-y) = 0 implies -4y + 3y + y = 0 implies 0 = 0 na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 6

A última equação nos deu uma identidade verdadeira , o que significa que temos infinitas soluções para , além da solução trivial . Por exemplo, se escolhermos , então e .
Isso mostra que existe uma combinação não trivial dos polinômios que resulta no polinômio zero.

Resposta

Os conjuntos de polinômios são Linearmente Dependentes.

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